La derivada de eᶜᵒˢˣ⋅cos(eˣ)

permitamos utilizar lo que ya sabemos de la regla de la cadena y la regla del producto para tomar la derivada de expresiones más complejas y en esta ocasión queremos realizar la derivada respecto de x d a la coseno de x por el coseno de a a la x y como podemos ver aquí tenemos un producto de dos funciones así que por la regla del producto esto nos va a decir que va a ser la derivada respecto de x de la primera expresión que es que a la coseno de x que va a estar multiplicada por la segunda expresión que es el coseno de a la x más la primera función que es que a la coseno de x x a la coseno de x por la derivada de la segunda expresión que en este caso va a ser por la derivada respecto de x del coseno de que está elevado a la x coseno de a a la x y entonces ahora lo importante es que necesitamos figurarnos cómo se van a realizar o se van a resolver estas 2 que tenemos aquí puesto que a como aquí lo voy a escribir de color blanco esto es un producto entonces podemos usar la regla del producto pero a su vez dentro de cada una de estas expresiones tenemos que utilizar entonces la regla de la cadena entonces ahora permíteme copiar y pegar exactamente aquí para irla resolviendo de una forma más clara y bueno entonces como estaba diciendo anteriormente aquí hay que preocuparnos por cómo se haría esta derivada y voy a utilizar la regla de la cadena para hacer la derivada de iu a la coseno de x entonces como nosotros sabemos la derivada de algo cuando está elevada a alguna potencia viene quedando la misma expresión pero bueno aquí la voy a poner de otro color para no crear confusiones lo voy a poner de un color magenta entonces esto es que a la coseno de x y aquí nos queda la misma expresión a la coseno de x pero aquí lo importante es que vamos a multiplicar por la derivada del coseno de x que en este caso es a lo que está elevado la ed entonces lo voy a poner de color azul en la derivada del coseno dx es el menos seno de xy el seno negativo de x pero ahora déjenme escribirlo aquí abajo más claro es la derivada de la coseno de x pero con respecto al coseno de x y está azul va a ser la derivada del coseno de x pero respecto de x y como veis esto nos queda como un producto que es exactamente lo que hace la regla de la cadena justo lo suficiente entonces ahora voy a hacer lo mismo con este lado lo voy a copiar y pegar por acá abajo imaginemos que está aquí para resolver la derivada respecto de x del coseno de a la equis y lo voy a poner de otro color para que igual se distinga y sea diferente y de igual forma utilizando la regla de la cadena esto va a ser la derivada del coseno de la x que es el menos seno de ea la x porque es por lo que está compuesta la función entonces escribiéndolo de forma más clara esta es la derivada del coseno de a la x pero respecto de a a la x bueno ya usado demasiados colores yo creo que en esta ocasión voy a utilizar un color verde para escribir la derivada de lo que sigue que hay que multiplicar aquí por la derivada de la x que viene siendo la misma a la x y estoy viendo la acá abajo más claramente es la derivada de a la x con respecto de x y lo que esencialmente sigue es tener que sustituir solamente en las expresiones originales lo que nosotros encontramos utilizando la regla de la cadena entonces ahora sólo déjame copio y pego las expresiones de arriba para verlo hacer todo un poquito más limpio o más bonito por así decirlo entonces lo voy a poner aquí abajo y esto va a ser igual a este producto que aparece por acá que es el coseno de ea la equis y esta expresión de aquí abajo pero la podemos reescribir como si hiciéramos el producto y sacamos el signo del -0 de x entonces esto va a ser en menos a la coseno de x por el seno de x porque ya le sacamos el signo negativo como al haber hecho el producto y esto a su vez también se va a multiplicar por el co seno de la x esto siendo en cuanto al primer término ahora hay que sumar todo lo del segundo término pero si te das cuenta aquí tenemos otra vez una expresión que como es un producto vamos a tener un término negativo por lo que en lugar de ser más vamos a tener aquí un menor es un signo negativo de toda la segunda expresión entonces aquí voy a poner a la x x a la coseno de xy estas dos en realidad no importa si las comentamos puesto que es un producto y no vamos a alterar la expresión y luego vamos a multiplicar por el seno de la x que es nuestra tercera expresión que está conformada acá y ya no nos afecta como habíamos comentado su signo negativo puesto que fue el intercambio que hicimos que son las que esté señalando aquí arriba a este producto y finalmente esta es la expresión que vamos a tener de nuestra derivada total y ya utilizando la regla de la cadena y la del producto está hecho