Prueba: diferenciabilidad implica continuidad

lo que quiero hacer en este vídeo es demostrar que si una función es derivable en un punto c también será continua en ese mismo punto pero antes de hacer la la prueba recordemos lo que significa la deriva habilidad y la continuidad muy bien así que vamos a empezar con la propiedad de la deriva habilidad muy bien y eso es una propiedad de las funciones verdad y por lo tanto vamos vamos a hacer un breve dibujo digamos que tenemos aquí los ejes digamos este es el eje ye y este es el eje x muy bien y digamos que tenemos alguna función no sé digamos algo así digamos algo que se vea algo así y queremos ver que esta función es derivable en cierto punto c muy bien entonces aquí tenemos el valor de la función en sí aquí tenemos fdc y por supuesto esta función o ésta es la gráfica de la función yo igual a fx muy bien y entonces una forma de calcular la derivada en el punto c sería de la siguiente forma tenemos tomamos cualquier punto digamos x por aquí y nos fijamos en su evaluación con la función f verdad entonces acá estará digamos fx verdad y ahora calculamos la la pendiente de la recta secante que une estos dos puntos verdad la recta secante que une a efe al punto se coma fcc con el punto x coma fx verdad y calculamos la pendiente ahora la la idea de la deriva bilidad es simplemente hacer tender x ac verdad y entonces eso es lo que nos va a dar es una pendiente es la pendiente de la recta gente en el punto de verdad y tangente por supuesto a la gráfica entonces tenemos que calcular el límite cuando x tiende a ser de fx verdad menos fdc menos fdc todo esto sobre x menos c verdad si nos damos cuenta esta expresión que tenemos aquí es la pendiente de la recta secante que une estos dos puntos si en ahora nosotros incluimos este límite estamos calculando la pendiente de la recta tangente muy bien y todo esto es sólo un repaso verdad si decimos que nuestra función efe es derivable en c lo único que estamos diciendo es justamente que este límite existe y en dado caso de que si exista esto es lo que conocemos como la derivada de f punto c muy bien ahora vamos a repasar lo que significa la continuidad muy bien vamos a ver qué significa que una función sea continua en algún punto y para eso vamos vamos a usar otra vez algunas gráficas pero en realidad la definición de continuidad solo nos dice que el límite de fx cuando x se aproxima a c debería ser justamente lo intuitivo que es evaluar efe en el punto c ahora quizás es más fácil ver el caso donde una función es discontinua muy bien vamos a ver varios casos bueno veamos son los dos casos digamos aquí nuevamente tenemos nuestro eje y digamos que acá tenemos nuestro eje x y tenemos alguna función que se vea más o menos así y que en el punto c tenga un agujero y digamos que la evaluación en el punto c vaya por arriba y después continúe por la gráfica muy bien digamos que aquí es el punto ce pero la evaluación de la de la función en ce está hasta acá arriba muy bien entonces si nosotros por ejemplo quisiéramos calcular el límite cuando x tiende a c es decir aproximarnos a este punto digamos que quisiéramos aproximarnos a este punto verdad entonces la función se aproxima a este otro punto verdad entonces realmente aquí se encuentra el límite cuando x tiende a c df de x verdad entonces no fue igual el valor de f ence que el límite de fx cuando x tiende a ser verdad veamos otro ejemplo porque digamos que tenemos otra vez nuestros dos ejes aquí tenemos que x y digamos ahora que tenemos una función de este estilo que viene por este lado por aquí y después hacer todo un brinco hace todo un brinco y continúa nuestra función donde hizo el brinco digamos que ese es nuestro punto c entonces si nos fijamos en la gráfica aquí es aquí se encuentra f evaluada en ce muy bien sin embargo ahora si nos aproximamos por la izquierda hace en realidad nos estamos aproximando a este valor si nos aproximamos por la derecha entonces nos estamos aproximando a otro valor completamente distinto entonces en este segundo caso el límite no existe ese límite no existe el límite cuando x tiende a cdf de equis y entonces no podemos decir que la función sea continua ahora si hacemos un último dibujito de algo que sí sea continuo digamos algo más pequeño digamos algo así muy bien aquí está el eje x el eje y digamos ahora sí que nuestra función se ve como como las de siempre entonces aquí sí tenemos que la función evaluada en se corresponde con el límite verdad porque si nosotros ahora nos aproximamos por aquí entonces la función se aproxima a este punto mientras que si nos aproximamos por la derecha entonces la función se aproxima bien a ese mismo punto entonces en este caso si podemos concluir que coincide con el límite cuando x tiende a ser de la función f x muy bien y hasta hasta ahorita todo esto fue un repaso y es un repaso necesario para ver lo que queremos demostrar en este vídeo y es que la deriva bilidad en el punto c implica que va a ser continua la función en ese mismo punto sé muy bien entonces vamos vamos a revisar la demostración de esa afirmación que íbamos a hacerlo digamos por separado hacerlo por separado vamos a poner unas líneas digamos así y entonces comencemos suponiendo vamos a suponer supongamos que f es derivable en c muy bien que significaba que la función fuera derivable en c pues significa justamente que es el límite que tenemos aquí arriba exista verdad y en ese caso le decimos que es la derivada de f ence muy bien entonces vamos a calcular el siguiente límite calculemos el límite cuando x tiende a c de fx menos fdc muy bien tenemos ese límite entonces si nosotros queremos calcular este límite vamos a utilizar un truco vamos a multiplicar por x menos vamos a multiplicar por x menos c f x menos fdc pero para no afectar la igualdad tendremos que dividir entre lo mismo verdad podemos dividir entre x menos c entonces si te pones a pensar lo realmente multiplicamos por 1 verdad y eso no le hacen a la expresión que teníamos anteriormente la única ventaja que tenemos ahora es que tenemos el límite de un producto y sabemos que si ambos límites existen pues corresponde al límite al producto de los límites verdad lo que quiero decir es lo siguiente tenemos el límite cuando x tiende a c de x menos todo esto que multiplica límite cuando x tiende a c de fx menos fdc / x menos sé muy bien entonces esto simplemente fue utilizando la regla del producto de los límites verdad ahora si nos ponemos a pensar qué significan estos dos límites por un lado el del lado derecho es justamente la derivada de f evaluada en ce verdad esto es justamente suponiendo que f derivable en c entonces este límite existe y le llamamos f prima de c por otro lado el límite de x - cuando x tiende a c pues es justamente 0 verdad x - sí sí si x se parece a c pues que x se va a parecer a 0 verdad entonces el límite anterior que calculamos es exactamente muy bien y esto para que lo necesitamos bueno ahora regresamos a nuestra expresión original muy bien tenemos que el límite de fx menos fdc es igual a 0 fue lo que encontramos en los argumentos pasados ahora muy bien recordemos que el límite de una diferencia es la diferencia de los límites entonces tenemos el límite cuando x tiende a ser de fx menos el límite cuando x tiende a c de fdc y esto obtuvimos que vale 0 verdad sin embargo fijémonos ahora en este término tenemos el límite cuando x tiende a ser de fdc pero eso ya no depende de x verdad este numerito es simplemente una constante entonces el límite de una constante es exactamente la constante entonces esto es fdc tenemos el límite de fx cuando x tiende a c fcc es igual a cero eso nos dice una sola cosa si sumamos de ambos lados fcc tendríamos del lado izquierdo límite cuando x tiende a c df de x y como sumamos fdc ya no lo tenemos del lado izquierdo pero del lado derecho ahora tenemos fdc de verdad 0 + fdc nos da fcc entonces si nosotros recordamos la definición de continuidad estamos obteniendo esa propiedad verdad estamos obteniendo justamente que la función es continua en el punto ce muy bien entonces a final de cuentas que fue lo que hicimos primero supusimos que f era derivable en un punto de verdad y calculamos el límite de fx - fcc cuando x tiende a c y resulta va a ser cero verdad simplemente de multiplicar y dividir por x menos c ahora utilizando ese resultado vemos que el límite de esta diferencia es la diferencia de los límites y de ahí concluimos que el límite de fx cuando x tiende a c es fcc muy bien y con eso estamos demostrando que es continua en el punto c así que espero que te haya gustado esta demostración