Introducción a las integrales definidas

lo que vamos a hacer en este vídeo es presentar la idea de una integral definida y junto con las integrales indefinidas y las derivadas este es uno de los pilares del cálculo en futuros vídeos veremos que todos estos elementos están relacionados y veremos de dónde viene la anotación de la integral definida vamos a dibujar algunas funciones aquí y pensemos en áreas bajo la curva vamos a dibujar un eje ordenado aquí este es el eje y este es el eje x y aquí dibujamos otro par de ejes ordenados aquí tenemos una función f x y aquí tenemos el valor x que es igual aa ponemos una línea aquí y ese es el valor de x que es igual a ver nos interesa el área bajo la curva de la función y igual a fx por arriba del eje x que se encuentra entre estos dos límites x es igual a y x es igual a b pueden apreciar que no estamos acostumbrados a calcular el área de figuras donde uno de los lados o muchos de los lados veremos más adelante este curvado pero esa es una de las cosas poderosas de la integral definida y del cálculo integral con respecto a la anotación para esta área será la integral definida luego tenemos el límite inferior x que es igual aa aquí arriba ponemos el límite superior que es x igual a b queremos el área bajo la curva fx y luego ponemos de x en el futuro y especialmente cuando veamos las sumas de ruymán comprenderemos mejor de dónde viene esta anotación que de hecho viene del leibniz uno de los fundadores del cálculo este es el símbolo de suma pero para el propósito de este vídeo nos interesa conocer lo que representa todo esto representa el área bajo la curva fx entre x iguala y x igual a b este valor y esta expresión deben ser iguales en la forma en la que lo dibujé aquí se trata de un área positiva y se lo que están pensando acaso no todas las áreas son positivas pues sí deben ser positivas pero cuando hacemos que las cosas consistentes matemáticamente en las integrales definidas resulta que podemos tener áreas negativas debemos tener esto en cuenta cómo podemos tener un área negativa una situación es cuando tenemos el área por debajo del eje x digamos que nuestra función se comporta así aquí tenemos el límite y aquí tenemos el límite b cuando tenemos esta situación donde la curva está por debajo del eje en el rango que nos interesa calcular el área que por cierto esta expresión también puede representar esta área aquí tendremos un área negativa en el futuro cuando veamos las propiedades de las integrales en especial las propiedades de las integrales definidas veremos que si hacen el número más grande el límite inferior y el número más pequeño el límite superior aún cuando la función se encuentre por arriba del eje x tendremos un área negativa además tendremos situaciones combinadas por ejemplo ahora a está aquí y b está acá el área que nos interesa tendrá un segmento positivo y un segmento negativo por lo que se cancelará cierta parte de esta área negativa que es más grande así que cuando evaluemos esta integral el resultado será negativo si por el contrario el área positiva fuera más grande que el área negativa el resultado será positivo usemos lo que ya sabemos sobre las integrales definidas para resolver algunos ejemplos aquí tenemos la gráfica de igual a fx traten de calcular esto cuál es la integral definida desde menos 12 a menos 2 de fx de x pausa en el vídeo y traten de resolverlo por su cuenta esto nos dice que el área bajo la curva de fx por arriba del eje x y que va de menos 12 a menos 2 estoy señalando el área que nos interesa quizá reconozcan esto como un semicírculo y cuál es el radio vamos de menos 12 a menos 2 el diámetro es 10 por lo que el radio es 5 lo dibujamos el área de un círculo por radio al cuadrado por lo que el área del semicírculo espí por 25 entre 2 y así de rápido sin tener que hacer cálculos sofisticados encontramos el valor de esto el área de un semicírculo 25 por pi entre 2 hagamos otro ejercicio cual es la integral definida de menos 2 a 2 positivo de fx de x a que será igual con base en lo que ya conocemos para esta función de igual a fx vamos de menos 2 a 2 por lo que nos interesa esta área quizás su mente ya se dio cuenta de que esto se encuentra por debajo del eje x por lo que será un área negativa pero primero calculemos el área usando un poco de geometría y después ya que identificamos que es un área por debajo del eje la pondremos como área negativa la geometría nos dice que el área de un triángulo es base por altura entre 2 escribimos un medio por la base que va de menos 2 a 2 y la altura parece que es 3 por lo que multiplicamos un medio por 4 por 3 lo que nos da igual a 6 podemos vernos tentados a escribir aquí 6 ya que es el área que acabamos de encontrar pero recuerden que nos encontramos por debajo del eje x así que esto será menos 6 hagamos un último ejercicio calculemos la integral definida de menos 12 a 2 positivo de fx de x lo escribimos así pero en futuros vídeos veremos en detalle qué significa esta de x para la anotación de integrales a que será igual esto pausa en el vídeo y traten de calcularlo será esta área y esta otra área pero no podemos sumar 25 por pi entre 2 + 6 tal cual recuerden que esta es una integral negativa es menos 6 por lo que será un área positiva 25 por pi entre 2 menos esta área que está debajo del eje x menos 6 este ejemplo en particular este es el valor de la integral definida y con esto terminamos