Introducción al cálculo integral

aquí tenemos una curva que representa la función fx y tenemos un problema clásico que los matemáticos conocen desde hace mucho tiempo como encontramos el área bajo esta curva entre la curva y el eje x y entre un par de límites entre x iguala y x igual a b vamos a dibujar estos límites aquí está el límite izquierdo y aquí está el límite derecho nos interesa esta área que estoy señalando sin usar cálculo podemos tener cada vez mejores aproximaciones para encontrar esta área como lo hacemos podemos dividir esto en varias secciones delta x desde a ave pueden ser secciones iguales o no pero para visualizarlo mejor vamos a dibujar secciones más o menos iguales aquí tenemos una sección aquí la segunda aquí la tercera aquí la cuarta aquí la quinta y aquí la sexta estas secciones delta x1 esta es delta x2 esta delta x 3 hasta llegar al delta x ahora trataremos de sumar las áreas de los rectángulos para encontrar el área bajo la curva para hacer esto necesitamos calcular la altura de los lados de cada rectángulo y para eso vamos a usar el valor de la función f x del lado derecho de cada rectángulo aunque podría ser cualquier punto dentro de la delta x como la altura que les corresponde esta es una solución y veremos más detalles de esto en futuros vídeos hacemos esto y ahora tenemos una aproximación el área de cada uno de estos rectángulos va a ser f x subíndice y que es el lado derecho de cada rectángulo x delta x y después sumamos todas estas áreas y tendremos una aproximación del área total pero siempre que tengamos un número finito de rectángulos siempre podremos mejorar nuestra aproximación haciendo más pequeña nuestra delta x para tener más de estos rectángulos aquí tenemos la suma que va de igual a 1 hasta n pero qué pasa si delta x se vuelve cada vez más delgada n se vuelve cada vez más grande conforme delta x se vuelve infinitesimalmente pequeña y conforme n se aproxima a infinito pueden darse cuenta de que esto se parece al límite cuando n tiende a infinito o al límite cuando delta x se vuelve infinitamente más pequeña esta noción de que nuestra aproximación mejora conforme nos acercamos al límite cuando n tiende a infinito es la idea central detrás del cálculo integral se llama cálculo integral porque la operación central que usamos la suma de un número infinito de cosas infinitesimalmente pequeñas es la integral esto es la integral de a a b aprenderemos los detalles más adelante pero en este caso esto es una integral definida de fx de x pueden ver aquí las similitudes podemos ver el símbolo de integral como la anotación sigma de esta suma pero en lugar de sumar un número discreto de elementos vamos a sumar un número infinito de elementos infinitamente delgados tener delta x tenemos de equis cosas infinitesimalmente delgadas esta es la noción de una integral lo que hace interesante al cálculo además de usar esta noción del límite es estar conectado a la noción de la derivada lo que lo hace aún más poderoso es una de las cosas más bellas en matemáticas como veremos en el teorema fundamental del cálculo la integración o noción de integrar está muy relacionado con la noción de la derivada de hecho con la noción de la anti derivada en el cálculo diferencial teníamos problemas que decían tenemos una función y podemos encontrar su derivada en el cálculo integral decimos si comenzamos con la derivada podremos encontrar su integración podremos encontrar su anti derivada o la función de la cual es derivada veremos que todas estas ideas están relacionadas la idea del área bajo la curva la idea del límite de la suma de un número infinito de cosas infinitesimalmente delgadas y la noción de la anti d se unen en nuestro viaje al cálculo integral y con esto terminamos