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Transcripción del video

a ver intenta resolver esta integrarla ya lo intentaste bueno entonces vamos a trabajar en este ejercicio juntos seguramente te diste cuenta que no hay ninguna técnica tradicional que hayamos visto que se aplique directamente a este integral por ejemplo hacer una sustitución no nos va a servir de nada y muchas de las otras técnicas tampoco nos van a ayudar el chiste aquí es notar que esto de aquí es una expresión racional es una división de dos expresiones algebraicas donde además el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador en este caso en particular son exactamente iguales ahora cuando tenemos estas expresiones racional es lo que tenemos que hacer es la división algebraica en la que tomamos a este numerador x men o cinco y y vivimos esta expresión algebraica entre el denominador menos 2 x + 2 1 que ya hacemos una simple división de expresiones algebraicas entonces para hacer esta división nos fijamos en los términos de mayor grado de estos dos términos y nos preguntamos cuántas veces cada vez menos dos equis y pues cabe menos un medio vez es cierto - un medio que entonces multiplicamos menos un medio por todo esto - un medio por 2 3 - 1 - 1 luego menos un medio por menos dos equis menos con menos es más luego dos por un medio es uno así es que nos queda es simplemente una x entonces a x menos cinco le tenemos que respetar x - 1 así es que ponemos en menos por aquí y menos por lo menos nos da más y nos queda pues éstas x se cancelen y nos queda simplemente - x más uno que es un -4 y esta división algebraica lo que nos dice es que podamos escribir a todo esto de aquí como menos un medio menos un medio más o menos cuatro entre menos 2 x + 2 - 2 x + 2 todo esto es igual a esta fracción de aquí y lo queremos integrar con respecto a x y ahora lo que vamos a hacer es simplificar esta expresión de aquí o sea porque por ejemplo esta fracción podemos ver claramente que el 2 divide tanto el numerador como a todos los términos del denominador entonces vamos a dividir arriba y abajo entre dos y además también nos podemos deshacer de este símbolo - el numerador entonces vamos a hacerlo a ver estamos dividiendo numerador y denominador entre -2 y entonces menos cuatro entre -2 y todo esto de aquí se convierte en un 2 y aquí en el denominador menos dos equis entre menos dos pues es simplemente una x y luego dos entre -2 y se convierte en un -1 pero bueno aquí ya quedó todo muy amontonado entonces vamos a volver a escribirlo y observa que lo único que hemos hecho aquí son puras cosas algebraicas aunque y simplemente la división algebraica y luego un poco de simplificación de esta fracción aunque bueno algunos dirían que esto no es simplificar una fracción pero resulta que es muchísimo más fácil integrar estos dos términos que éste entonces tenemos por aquí - un medio más dos en el numerador / x x - 1 - 1 y estamos integrando con respecto a x entonces queremos evaluar esta integral y bueno la anti derivada de menos un medio es súper sencilla es simplemente menos un medio x bueno pero cuál es la anti derivada de dos / x menos uno a ver ya lo pensaste bueno pues la derivada de x menos uno es simplemente uno entonces suena que tenemos a esta constante dos por justo la derivada de logaritmos natural del valor absoluto de x menos 17 donde estamos utilizando cuál es la derivada de logaritmos natural y una sustitución donde la u es igual a x -1 y de eeuu está por aquí arriba que en realidad es un 1 por dx pero bueno como esto parece que está quedando muy confuso hoy a hacerlo paso por paso veamos queremos saber cuál es la anti derivada de dos / x menos uno con respecto a x y estamos diciendo que vamos a hacer una sustitución donde x menos uno es igual a x menos uno y entonces cuando derivamos aquí nos queda de x de x + 0 así es que ésta integral es igual la integral de una vez por todas podemos sacar este 12 que afuera dos por la integral de uno entre ahora x - 1 ahora se llama uu y de x ahora se llama de eeuu entonces tenemos de bueno y aquí ya podemos utilizar directamente lo que sabemos el logaritmo entonces esto es igual aquí tenemos este 2 que no se nos debe olvidar dos y la anti derivado de esto es el logaritmo del valor absoluto de u y tampoco se nos vaya a olvidar que tenemos que sumarle una constante ahora por aquí no tiene hemos ni un término que se llama eu entonces queremos dejarlo todo en términos de la x así es que tenemos que sustituir eso de que eeuu es igual a x menos uno y nos queda simplemente como dos por el logaritmo el valor absoluto de x menos uno más la constante muy bien muy bien así es que por aquí la anti derivada de dos / x menos uno es igual a 2 por el logaritmo del valor absoluto tx - 1 valor absoluto y siempre que tengamos una integral no se nos puede olvidar poner esta constante el final ok si estuviéramos viendo en el otro sentido hacia si tuviéramos esta expresión y derivar a moss es la derivada de todo esto sería estoy aquí y la derivada de la constante siempre 0 así es que ya terminamos este es nuestro resultado
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