Integración al completar el cuadrado y la derivada de arctan(x)

muy bien veamos si podemos encontrar la integral indefinida de 1 entre 5 x cuadrado menos 30 x más 65 de x pausa el vídeo e intenta encontrarla muy bien esto será interesante y un poco peliaguda primero vamos a trabajar a la juntos podría ser que inmediatamente intentes usar varias técnicas de integración y encuentres muchos obstáculos es por eso que en este denominador intentaremos completar el cuadrado perfecto una vez que completemos el cuadrado llegaremos a una integral que tendrá la forma de la derivada del arco tangente si esto te sirve de pista entonces de nuevo pausa el vídeo y trata de continuar con la solución ok vamos a resolverlo juntos esta vez intentaré simplificar un poco nuestro denominador para que el coeficiente de mi x cuadrada sea 1 para eso puedo factorizar un 5 en mi denominador si hago esto entonces esta integral me quedara como un quinto por la integral indefinida de 1 entre y ojo estoy factor izando un 5 en el denominador entonces me quedo con x cuadrada menos 6 x + 3 cm de x ahora como mencioné voy a completar el cuadrado perfecto por acá abajo déjame escribirlo tengo un quinto por la integral indefinida de 1 / x 4 a adam menos 6x y como puedes observar no tenemos un cuadrado perfecto en la forma en la que lo escribimos entonces escribiremos este más 13 hasta el final y ahora completar el cuadrado cuál es el número que debo de sumar y después de restar recuerda no queremos cambiar el valor del denominador para poder tener en esta parte un cuadrado perfecto bueno esto lo hemos hecho antes si tomamos el coeficiente de la x elevada a la primera potencia lo cual es menos 3 y después lo elevamos al cuadrado así que sumamos 9 pero si sumas un 9 también debes de restarle por lo tanto de esta parte de aquí de ésta obtendremos x menos 3 elevado al cuadrado y de esta otra parte obtendré 4 - 93 cm es 4 y por supuesto no olvidemos nuestra de x al final ahora déjame reescribir la de esta manera tengo un quinto por la integral indefinida de 1 / x 3 al cuadrado más 4 y de hecho también podemos ver al 4 como 2 al cuadrado es más déjame escribirlas y 2 al cuadrado de x ahora seguramente muchos de ustedes dirán oye esto se parece mucho a un arco tangente pero voy a intentar simplificar aún más para que sea verdaderamente claro que tenemos involucrado un arco tangente y para ello haré una sustitución y primero vamos a factorizar un 4 en nuestro denominador si hacemos eso tendremos que un quinto por un cuarto hat fuera de la integral lo cual será un veinteavo un veinteavo por la integral de / x 3 al cuadrado entre 2 al cuadrado que es 4 + 1 y claro no olvidemos el final a de x y ahora podemos escribir esto como e intento hacerlo paso por paso aunque muchos de ustedes puedan hacer esto de una manera más rápida tenemos uno entre 20 un veinteavo por la integral indefinida de uno entre x menos 3 entre 2 esto elevado al cuadrado más uno de x y ahora si la sustitución 1 es muy clara voy a hacer la sustitución un igual a x menos 3 entre 2 o podemos ponerlo como un medio de x menos 3 medios esto es x menos 3 entre 2 y ahora de 1 es igual a un medio d ahora lo queremos es reescribir un poco esta integral para que aparezca el un medio en el numerador por lo tanto si hago esto voy a poner aquí un médium y entonces estoy multiplicando afuera de la integral por 2 es decir multiplicó por 2 y dividido por 2 es una forma de verlo y por lo tanto afuera me quedara un décimo y si ahora hago mi sustitución 1 pondré un décimo por la integración definida de y observar tengo un médium de x justo aquí que de hecho es de 1 y bueno puedo ponerlo en el numerador o al final y después tengo uno entre y aquí abajo tendré en mi denominador o cuadrada más 1 e inmediatamente podrás reconocer esto cuál es la derivada del arco tangente de un bueno justo será 1 / cuadrada + 1 por lo tanto esto será un décimo del arco tangente de un y por supuesto olvidar sumar la constante cm porque estamos tomando la integral indefinida por último tenemos que regresar a nuestra variable original hacer la sustitución de reversa recuerda sabemos que uno es igual a un medio de x menos tres medios por lo tanto con un pequeño redoble de tambor podemos dar la respuesta final esto será un décimo por el arco tangente de un pero es igual a x menos 3 entre 2 que también lo hemos escrito de esta manera como un medio de x menos tres medios y entonces me quedan el arco tangente de x menos tres entre dos más c y ya está lo hemos logrado nos vemos en el siguiente vídeo