Integración por partes: ∫x⋅cos(x)dx

en el último vídeo propuse que esta fórmula es sumamente útil para encontrar anti derivadas de cierto tipo de funciones veamos si esto realmente funciona calculemos entonces la anti derivada de x x de x y si te fijas en la fórmula quieres asignar a una parte de esto a fx y otra parte de esto ag prima de x la pregunta es el signo f xx que prima de x a coseno de x o f x a coseno de x ig prima de x a x y para esto hay que darse cuenta en la otra parte de la fórmula que esencialmente tenemos que resolver esta parte de aquí y aquí tenemos la derivada de f x x gdx lo que tenemos que hacer es asignar a fx de tal manera que la derivada de fx es más simple que fx y asignar que prima de x de tal manera que si tomamos su anti derivada no se complica más en este caso si tomamos fx como x efe prima de x va a ser 1 con lo cual se hace más simple la expresión por lo que se prima de x corresponde a coseno de y su anti derivada es seno de x con lo cual no se complica la expresión si lo hiciéramos al revés que fx fuera coseno de x efe prima de x es menos en de x la expresión no se complica pero sí que prima de x es igual a x la anti derivada gdx es x cuadrada sobre 2 y eso lo hace más complicado vamos a plantearlo claramente por acá entonces tenemos que fx es igual a x f x es igual a x por lo que este prima de x es igual a 1 mientras que mi prima de x voy a usar otro color de prima de x es igual a coseno de x por lo que guede x es igual a seno gx es igual a seno de x la anti derivada de coseno de x ahora dadas estas asignaciones veamos como aplicar esta fórmula hagámoslo entonces por acá abajo del lado derecho tenemos fx por gd x fx es igual a x entonces aquí sería x porque x gx seno de x x x seno de x - menos la anti derivada de f prima de x la anti derivada de prima de x pero efe prima de x es uno por gx gx es seno de x lxs x de x esto es una gran simplificación teníamos que encontrar la anti derivada de x de x y ahora tan solo tenemos que encontrar la anti derivada de seno de x y sabemos que la anti derivada de seno de x la antidiva de seno de x de x es igual a menos coseno de x y por supuesto más nuestra constante integración que vamos a sumar aquí al final ya que tenemos toda nuestra anti derivada entonces esto es igual a x seno de x menos la anti derivada de seno de x dx que calculamos por la ya que va a ser menos x más se podemos agregar se restan se como sea ésta es una constante que inclusive puede ser negativa y está entonces es igual a podemos escuchar las fanfarrias x seno de x más coseno de x más c y hemos terminado hemos encontrado la anti derivada de algo que hasta ahorita no sabíamos cómo hacer esto es realmente interesante