Integración por medio de fracciones parciales

nos piden que encontremos el valor de esta integral indefinida algunos de ustedes al tratar de resolverla podrían decir bueno si el numerador es la derivada un múltiplo de la derivada del denominador entonces podríamos usar un cambio de variable pero aquí no es el caso entonces que hacemos la pista que puedo darte esta vez es que uses una descomposición en fracciones parciales que quizás invocar a los recuerdos de las clases de pre cálculo o de álgebra 2 esta es una técnica que separa esta expresión racional en la suma de dos expresiones racionales aquí una buena pista es el hecho de que este denominador se puede actualizar en estas dos expresiones entonces lo que intentaremos hacer en una descomposición de fracciones parciales es tratar de escribir x 5 entre 2 x menos 3 por x menos 1 como la suma de dos expresiones es donde el denominador de la primera será 2x menos 3 y el denominador de la segunda será x menos 1 ahora no conocemos los numeradores por lo tanto te animo a que si esta es la primera vez que ves descomposición en fracciones parciales veas el tema en khan academy tenemos varios vídeos sobre el tema el principio general es que los numeradores tendrán un grado menos que el grado que tiene el denominador entonces si nuestros denominadores tienen grado 1 nuestros numeradores deben tener grados 0 es decir serán constantes entonces tendremos una cierta constante desconocida que llamaremos am en la primera expresión y otra constante ve también desconocida para la segunda expresión y nuestro objetivo es encontrar a y ver todo esto es un repaso esto no es cálculo es mas precálculo o álgebra como podemos encontrar a ive bueno vamos a sumar las como si estuviéramos sumando dos fracciones con denominadores distintos por lo tanto si queremos tener un denominador común lo que tenemos que hacer es multiplicar esta primera expresión racional por x menos 1 en el denominador y en el numerador entonces obtendremos a que multiplican a x menos 1 entre 2 x menos 3 por x menos 1 y ahora para esta segunda expresión racional lo que vamos a hacer será multiplicar el numerador y el denominador por 2 x menos 3 2 x menos 3 que va a multiplicar ab entre 2 x menos 3 por x menos 1 ahora como ya tenemos el mismo denominador podemos sumar las el objetivo es que al sumarlas y pensar en el numerador intentemos alinear estas as ibex con lo que teníamos en un principio por lo tanto esto será igual am tenemos el mismo denominador 2 x menos 3 por ex menos 1 y en el numerador tendremos primero déjenme describir esto esto es lo mismo que a x menos am si distribuimos la am y distribuimos la vez en la segunda expresión tenemos dos veces por x menos 3 b por lo tanto si sumamos los numeradores primero sumaremos los términos x que tengo es decir a x + 2 b x que es lo mismo que a más 2 b por x y si sumamos los términos constantes tengo menos a menos 3 b pero como tenemos un signo menos acá arriba voy a tratar de emparejar lo más que pueda entonces me quedarán menos que multiplican 3b observa que se distribuye este signo negativo obtendrás menos al menos tres veces por lo tanto esto es equivalente y ahora podemos ver el patrón observa nuestros denominadores son los mismos por lo tanto este numerador debe de ser igual a x menos 5 dicho de otra manera sea cual sea el coeficiente de x aquí este tiene que ser igual a 1 ya que es el coeficiente de x al inicio y eso que estamos restando debe de ser igual a 5 y con esto establecemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas para encontrar a y b déjame notar las sabemos que a más 2 b esto debe de ser igual a 1 y que a más 3 b debe de ser igual a 5 ahora encontremos a ibm y podemos hacerlo por eliminación qué pasa si multiplicamos la ecuación de arriba por menos 1 obtenemos menos a menos 2 b y menos 1 y ahora podemos sumar las el punto era cancelar a y nos queda menos 2 b 3 b eso simplemente vemos que es igual a 4 y con esto podemos sustituir este valor para obtener a tenemos que a + 3 x 4 será 12 ojo estoy usando esta segunda ecuación esto es igual a 5 ahora si restamos 12 de ambos lados obtenemos que a es igual a menos 7 ya con esto podemos reescribir esta integral completa podemos decir que esto es igual a la integral indefinida de y abrimos paréntesis a entre 2 x menos 3 pero sabemos que a es igual a menos 7 entonces tengo menos 7 entre 2 x menos 3 ya esto le sumaremos pp pero como sabemos que ver es igual a 4 entonces tengo 4 / x menos 1 cerramos el paréntesis y escribimos de x ahora bien si te sientes inspirado te animo a que pausa el vídeo e intentes encontrar la respuesta desde este punto porque ya hemos visto las técnicas para resolver este tipo de integrales pero de todas formas lo haremos juntos paso por paso esto será lo mismo que la integral de m bueno como denominador tengo 2x menos 3 y puedo poner el menos 7 en el numerador pero mejor lo sacaré de la integral ya que es una constante entonces tendremos menos 7 al inicio y arriba me quedara un 1 sin embargo estaría muy bien si arriba tuviéramos un 2 porque porque todos es la derivada del denominador de 2x menos 3 de modo que con esto podemos hacer nuestro cambio de variable que hemos practicado varias veces entonces si queremos un 2 aquí no podemos simplemente multiplicar por 2 también tenemos que dividir entre 2 y eso lo hacemos afuera porque eso es una constante x más ahora la derivada de x menos 1 es simplemente 1 entonces necesitamos un 1 en el numerador así que podemos sacar el 4 de la integral y nos queda 4 por la integral de 1 / x menos 1 de x y esto será igual a poniendo primero nuestra constante a fuera menos siete medios y como tenemos esta expresión en el denominador y su derivada arriba podemos pensar que estamos integrando con respecto a la expresión del denominador puedes ver el cambio de variable como la inversa de la regla de la cadena pero no lo vamos a hacer aquí de una manera explícita sabemos que el anti derivada de uno entre x de x es el logaritmo natural del valor absoluto de x pero aquí la anti derivada de esto va a ser el logaritmo natural del valor absoluto de 2x menos 3 y para la segunda parte tenemos más 4 por la anti derivada de s qué es el logaritmo natural del valor absoluto de x menos 1 una vez más puedo hacer esto ya que la derivada de x menos 1 es simplemente 1 y por supuesto si estamos tomando una integral definida no debemos olvidar sumar nuestra sep al final y ya con esto hemos terminado así que seguiremos en los vídeos futuros