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Cálculo avanzado 2 (AP Calculus BC)

Curso: Cálculo avanzado 2 (AP Calculus BC) > Unidad 6

Lección 3: Sumas de Riemann, notación de suma y notación de integral definida
Matemáticas
Cálculo avanzado 2 (AP Calculus BC)
Integración y acumulación de cambio
Sumas de Riemann, notación de suma y notación de integral definida
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Sumas de Riemann en notación sigma

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La notación de suma puede usarse para escribir sumas de Riemann de forma compacta. Este es un paso difícil pero importante hacia una definición formal de la integral definida.
La notación de suma (o notación sigma) nos permite escribir una suma con muchos términos en una sola expresión. Mientras que la notación de suma tiene muchos usos en las matemáticas (y especialmente en el cálculo), queremos enfocarnos en cómo podemos usarla para escribir sumas de Riemann.

Ejemplo de escritura de una suma de Riemann en notación de suma

Imagina que estamos aproximando el área bajo la gráfica de f(x)=x entre x=0.5 y x=3.5.
Se grafica la función y = la raíz cuadrada de x. El eje x va de 0 a 4. La gráfica es una curva. La curva empieza en (0, 0), se mueve hacia arriba con concavidad hacia abajo y termina en (4, 2). La región entre la curva y el eje x, entre x = 0.5 y x = 3.5, está sombreada.
Y digamos que decidimos hacerlo escribiendo la expresión para una suma de Riemann derecha con cuatro subdivisiones iguales, usando notación de suma.
En la gráfica de la función y, la región sombreada está dividida en 4 rectángulos de ancho 0.75. Cada rectángulo toca la curva en la esquina superior derecha.
Sea A(i) el área del i.o rectángulo en nuestra aproximación.
El área de los rectángulos es A de 1, A de 2, A de 3 y A de 4.
La suma de Riemann completa puede escribirse de la siguiente manera:
A(1)+A(2)+A(3)+A(4)=∑i=14A(i)
Lo que necesitamos hacer ahora es encontrar una expresión para A(i).
La longitud del intervalo [0.5,3.5] es 3 unidades y queremos 4 subdivisiones iguales, por lo que la base de cada rectángulo mide 3÷4=0.75 unidades.
La altura de cada rectángulo es el valor de f en el extremo derecho del rectángulo (porque es una suma de Riemann derecha).
Sea xi el extremo derecho del i.o rectángulo. Para encontrar xi para cualquier valor de i, comenzamos en x=0.5 (el extremo izquierdo del intervalo) y sumamos repetidamente la longitud común 0.75.
El lado izquierdo del primer rectángulo está en x = 0.5. Suma 0.75 4 veces para obtener los lados de los rectángulos, desde x sub 1 hasta x sub 4.
Por lo tanto, la fórmula de xi es 0.5+0.75i. Ahora, la altura de cada rectángulo es el valor de f en su extremo derecho:
f(xi)=xi=0.5+0.75i
Y así hemos llegado a una expresión general para el área del i.o rectángulo:
A(i)=base⋅altura=0.75⋅0.5+0.75i
Ahora todo lo que tenemos que hacer es sumar esta expresión para valores de i de 1 a 4:
=A(1)+A(2)+A(3)+A(4)=∑i=14A(i)=∑i=140.75⋅0.5+0.75i
¡Y terminamos!

Resumen del proceso para escribir una suma de Riemann en notación de suma

Imagina que queremos aproximar el área bajo la gráfica de f en el intervalo [a,b] con n subdivisiones iguales.
Define Δx: sea Δx la longitud de la base de cada rectángulo. Entonces, Δx=b−an.
Define xi: sea xi el extremo derecho de cada rectángulo. Entonces, xi=a+Δx⋅i.
Define el área del i.o rectángulo: entonces, la altura de cada rectángulo es f(xi), y el área de cada rectángulo es Δx⋅f(xi).
Suma los rectángulos: ahora usamos la notación de suma para sumar todas las áreas. Los valores que usamos para i son diferentes para las sumas de Riemann izquierda y derecha:
  • Cuando escribimos una suma de Riemann derecha, tomamos valores de i de 1 a n.
  • Sin embargo, cuando escribimos una suma de Riemann izquierda, tomamos valores de i de 0 a n−1 (estos nos darán el valor de f en el extremo izquierdo de cada rectángulo).
Suma de Riemann izquierdaSuma de Riemann derecha
∑i=0n−1Δx⋅f(xi)∑i=1nΔx⋅f(xi)
Problema 1.A
El conjunto de problemas 1 te guiará por el proceso de aproximar el área entre f(x)=0.1x2+1 y el eje x en el intervalo [2,7] por medio de una suma de Riemann izquierda con 10 subdivisiones iguales.
Se grafica la función f. El eje x va de menos 1 a 9. La gráfica es una curva. La curva empieza en el cuadrante 2, se mueve hacia abajo hasta un mínimo local en (0, 1), se mueve hacia arriba y termina en el cuadrante 1. La región entre la curva y el eje x, entre x = 2 y x = 7, está sombreada.
¿Cuál es la longitud de cada rectángulo, Δx?
Δx=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

Problema 2
Queremos aproximar el área entre g(x)=5x+2 y el eje x en el intervalo [1,7] por medio de una suma de Riemann derecha con 9 subdivisiones iguales:
Se grafica la función g. El eje x va de menos 1 a 7. La gráfica es una curva. La curva empieza en el cuadrante 1, se mueve hacia abajo con concavidad hacia arriba y termina en el cuadrante 1. La región entre la curva y el eje x, entre x = 1 y x = 7, está sombreada. La región sombreada está dividida en 9 rectángulos con el mismo ancho. Cada rectángulo toca la curva en la esquina superior derecha.
¿Cuál expresión representa nuestra aproximación?
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