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Cálculo avanzado 2 (AP Calculus BC)
Curso: Cálculo avanzado 2 (AP Calculus BC) > Unidad 6
Lección 3: Sumas de Riemann, notación de suma y notación de integral definida- Notación de suma
- Notación de suma
- Ejemplos resueltos: notación de suma
- Notación de suma
- Sumas de Riemann en notación sigma
- Sumas de Riemann en notación sigma
- Ejemplo resuelto: sumas de Riemann en notación de suma
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- La integral definida como el límite de una suma de Riemann
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- Ejemplo resuelto: volver a escribir una integral definida como el límite de una suma de Riemann
- Ejemplo resuelto: volver a escribir el límite de una suma de Riemann como una integral definida.
- La integral definida como el límite de una suma de Riemann
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Sumas de Riemann en notación sigma
La notación de suma puede usarse para escribir sumas de Riemann de forma compacta. Este es un paso difícil pero importante hacia una definición formal de la integral definida.
La notación de suma (o notación sigma) nos permite escribir una suma con muchos términos en una sola expresión. Mientras que la notación de suma tiene muchos usos en las matemáticas (y especialmente en el cálculo), queremos enfocarnos en cómo podemos usarla para escribir sumas de Riemann.
Ejemplo de escritura de una suma de Riemann en notación de suma
Imagina que estamos aproximando el área bajo la gráfica de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, square root of, x, end square root entre x, equals, 0, point, 5 y x, equals, 3, point, 5.
Y digamos que decidimos hacerlo escribiendo la expresión para una suma de Riemann derecha con cuatro subdivisiones iguales, usando notación de suma.
Sea A, left parenthesis, i, right parenthesis el área del i, point, start superscript, start text, o, end text, end superscript rectángulo en nuestra aproximación.
La suma de Riemann completa puede escribirse de la siguiente manera:
Lo que necesitamos hacer ahora es encontrar una expresión para A, left parenthesis, i, right parenthesis.
La longitud del intervalo open bracket, 0, point, 5, comma, 3, point, 5, close bracket es 3 unidades y queremos 4 subdivisiones iguales, por lo que la start color #1fab54, start text, b, a, s, e, end text, end color #1fab54 de cada rectángulo mide 3, divided by, 4, equals, start color #1fab54, 0, point, 75, end color #1fab54 unidades.
La start color #e07d10, start text, a, l, t, u, r, a, end text, end color #e07d10 de cada rectángulo es el valor de f en el extremo derecho del rectángulo (porque es una suma de Riemann derecha).
Sea start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd el extremo derecho del i, point, start superscript, start text, o, end text, end superscript rectángulo. Para encontrar x, start subscript, i, end subscript para cualquier valor de i, comenzamos en x, equals, 0, point, 5 (el extremo izquierdo del intervalo) y sumamos repetidamente la longitud común start color #1fab54, 0, point, 75, end color #1fab54.
Por lo tanto, la fórmula de start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd es start color #11accd, 0, point, 5, plus, 0, point, 75, i, end color #11accd. Ahora, la start color #e07d10, start text, a, l, t, u, r, a, end text, end color #e07d10 de cada rectángulo es el valor de f en su extremo derecho:
Y así hemos llegado a una expresión general para el área del i, point, start superscript, start text, o, end text, end superscript rectángulo:
Ahora todo lo que tenemos que hacer es sumar esta expresión para valores de i de 1 a 4:
¡Y terminamos!
Resumen del proceso para escribir una suma de Riemann en notación de suma
Imagina que queremos aproximar el área bajo la gráfica de f en el intervalo open bracket, a, comma, b, close bracket con n subdivisiones iguales.
Define delta, x: sea start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 la longitud de la start color #1fab54, start text, b, a, s, e, end text, end color #1fab54 de cada rectángulo. Entonces, start color #1fab54, delta, x, equals, start fraction, b, minus, a, divided by, n, end fraction, end color #1fab54.
Define x, start subscript, i, end subscript: sea start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd el extremo derecho de cada rectángulo. Entonces, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, equals, a, plus, delta, x, dot, i, end color #11accd.
Define el área del i, point, start superscript, start text, o, end text, end superscript rectángulo: entonces, la start color #e07d10, start text, a, l, t, u, r, a, end text, end color #e07d10 de cada rectángulo es start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10, y el área de cada rectángulo es start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10.
Suma los rectángulos: ahora usamos la notación de suma para sumar todas las áreas. Los valores que usamos para i son diferentes para las sumas de Riemann izquierda y derecha:
- Cuando escribimos una suma de Riemann derecha, tomamos valores de i de 1 a n.
- Sin embargo, cuando escribimos una suma de Riemann izquierda, tomamos valores de i de 0 a n, minus, 1 (estos nos darán el valor de f en el extremo izquierdo de cada rectángulo).
Suma de Riemann izquierda | Suma de Riemann derecha |
---|---|
sum, start subscript, i, equals, 0, end subscript, start superscript, n, minus, 1, end superscript, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10 | sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10 |
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- como sale el 15/3 + 2i* 2/3(2 votos)
- Multiplico por 3 arriba y abajo en el cociente.
Eso es un 1 asi que no afecta a la expresion en si.(2 votos)