Ejemplo resuelto: sumas de Riemann en notación de suma

lo que quiero hacer en este vídeo es practicar el cálculo de la aproximación del área bajo la curva y el uso de la notación sigma en este contexto aquí tenemos la gráfica de la función f x igual a 1 + 0.1 x cuadrada es esta curva que aparece aquí también tenemos estos rectángulos como una aproximación del área bajo la curva del área que se encuentra por debajo de la gráfica de f / x igual a 0 y x igual a 8 y la manera como haremos esta aproximación de acuerdo a este diagrama es dividiendo el área en estos cuatro rectángulos así es que a este rectángulo le podemos llamar rectángulo 1 a este rectángulo 2 rectángulo 3 y rectángulo 4 ya esta altura pero veamos primero el intervalo parece ser que cada uno de estos rectángulos tiene una base de 2 el intervalo de 0 a 8 lo hemos dividido en cuatro secciones iguales así es que cada sección tiene una longitud de 2 ahí tenemos 22 2 y 2 y la altura del rectángulo aparentemente se toma se calcula a partir del punto medio así es que entre el lado izquierdo y el lado derecho de la base del rectángulo tomaremos la altura a partir del punto medio así tenemos que la altura aquí es efe de 1 la altura aquí es efe de 3 la altura de este rectángulo es efe de 5 y finalmente la altura aquí es efe de 7 entonces en base a esta construcción que tenemos aquí queremos usar la suma de las áreas de estos 4 rectángulos para aproximar el área bajo la curva como podríamos establecer dicha suma utilizando la notación sigma bien queremos hacer la suma de las áreas de estos 4 rectángulos eso podemos escribirlo como la suma desde n igual a 1 hasta en igual a 4 son 4 rectángulos aquí te invito a que le pongas pausa y completes lo que viene aquí escríbelo en términos de la función no es necesario que lo escribas como 10.1 de algo al cuadrado sino que puedes usar la notación funcional pongo que ya lo intentaste así es que veamos para el primer rectángulo su área la vamos a calcular como 2 que es la base por la altura que es la función evaluada en 1 así es que aquí podemos poner que es 2 por efe dn para el segundo rectángulo tenemos que también sería 2 que corresponde a la base del rectángulo multiplicada por la altura que es f evaluada en 3 ya que no nos funciona fn porque n vale 2 y lo que queremos es f de 3 tenemos que ver cómo construimos este argumento a ver veamos hagamos una tabla para ver esto en esta tabla vamos a considerar entonces los valores de n que es 1234 y los valores de f dn bueno eso es lo que queremos determinar así para en igual a uno la altura si es f1 cuando n es igual a 2 la altura correspondiente es f de 3 cuando en es igual a 3 efe de 5 y cuando n es igual a 4 la altura es f de 7 y qué relación hay entre n y el argumento bien parece ser que cuando multiplicas por 2 y restas 1 obtienes el argumento a ver veamos 2 x 1 - 1 1 2 x 2 menos 13 2 por 3 menos 5 2 por 3 menos 15 2 por 4 menos 17 de tal manera que el argumento de la función es 12 n 1 y el área de los rectángulos la podemos calcular como la base que es 2 por la altura que es f de 12 ene - 12 por efe de 12 n 1 y aquí la tenemos espero que te haya quedado claro cómo relacionamos la notación sigma con lo que estamos intentando hacer y ahora divirtámonos un poco tratando de evaluar esto de aquí obtener el resultado de esta expresión esto es igual a 2 efe de 2 x 1 1/2 por efe de 1 + 2 por efe de 2 x 24 menos uno efe de 3 más cuando en es igual a 32 por efe de 5 más cuando en es igual a 42 por efe de 72 por 48 menos 172 por f de 7 así es que esto va a ser igual a vamos a tener que evaluar varias veces esta expresión déjame borrar esto de aquí para que tenga más espacio se me hace que vamos a tener que escribir bastantes cálculos así es que esto va a ser igual a podemos factorizar el 2 para empezar y f1 es uno más punto uno por uno al cuadrado esto es uno más punto uno deja de poner lo mejor con colores para que quede más claro que lo que estoy haciendo efe de 11.1 10.1 es 1.1 este de aquí efe de tres es uno más punto uno por tres al cuadrado tres al cuadrado es nueve esto es uno más punto 91.9 más 1.9 a eso le vamos a sumar f 5f de 5 que es uno más punto uno por cinco al cuadrado que es 25 por punto 1 es 2.5 más 13.5 y finalmente más efe de 7 que es igual a 1.1 por 7 al cuadrado que es 49.1 por 49 4.91 esto es 5.9 + 5.9 bien y ahora todo esto a cuánto es igual veamos aquí podemos sumar 1.1 más 1.9 esto es igual a 3 y por otro lado tenemos 3.5 5.9 y esto es igual veamos 3.55 s 8.5 más punto 99.4 + 9.4 entonces y se viene esto a ver 35 8.5 punto 91.4 89.4 por lo que esto es igual a por cierto hay que incluir el 2 así es que esto va a ser igual a 2 por 12.4 y 2 por 12.4 es igual a 24.8 que es el valor de la aproximación no olvidemos que esta es una estimación usando el área de estos rectángulos para estimar el valor del área bajo la curva entre x igual a 0 y x igual a 8