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Encontrar la derivada con el teorema fundamental del cálculo: x está en el límite inferior de integración

Transcripción del video

queremos derivar con respecto a x la integral de x a 3 de la raíz cuadrada del valor absoluto de coseno de t dt esta es una pregunta totalmente válida verdad porque este límite inferior depende de x e incluso parece ser que podemos aplicar el teorema fundamental del cálculo sin embargo aquí la x está en el límite inferior y no en el límite superior como nos lo pide el teorema fundamental cómo le podemos hacer para resolver esta dificultad o para llegar a algo que sí sabemos pues ve la idea clave está en pensar qué sucede cuando intercambiamos los límites de integración ya hemos pensado un poquito en eso pero déjame hacer un pequeño paréntesis para recordarlo entonces tomemos digamos la integral la integral es que un poco feo la integral de a a b de fcc ft dt apuesta integral esta integral sabemos que es igual a efe tv - efe - f de a donde f mayúscula es la anti derivada de efe minúscula verdad esto fue un corolario al teorema fundamental del cálculo o bien le podemos llamar el teorema fundamental parte 2 o bien el segundo problema fundamental de cálculo bueno no importa el nombre la cosa es que así evaluamos las integrales definidas verdad le ponemos los límites de integración en la anti derivada y lo restamos entonces después vamos a ver qué sucede si multiplico aquí por menos si hago eso hay que multiplicar acá por menos y acá también y nos quedaría que menos menos la integral de a a b de fcc de ft dt es igual a menos toda esta cosa de acá - efe - efe y pues distribuyendo este signo menos nos queda menos efe db más efe de a así que déjame poner el f de a positivo nos quedaría de a efe mayúscula - efe mayúscula de b y mira esto está padre ahora otra vez por el teorema y fundamental del cálculo bueno por el corolario o por el segundo teorema fundamental del cálculo ahora tenemos esa mayúscula - efe mayúscula de modo que es la integral de efe dt de ft vete a esto está súper padre verdad entonces para intercambiar los límites de integración basta multiplicar por un signo negativo o bien también lo podemos decir al revés es verdad si una integral la multiplicamos por menos es lo mismo que intercambiar sus límites de integración bueno ya con esta idea vamos a regresar al problema original y entonces lo que queremos es encontrar la derivada con respecto a x la derivada con respecto a x de menos lo voy a poner así de menos la integral de 3x de la raíz cuadrada la raíz cuadrada del valor absoluto de coseno de tdt y ahí está y bueno como le hacemos para resolver esto pues esto ya está más o menos fácil bueno ya llega algo que ya sabemos hacer este menos lo podemos sacar nos queda la derivada con respecto a x de la integral de 3x de la raíz cuadrada bueno de eso mismo verdad ya para que lo digo más debía haberlo copiado y pegado a tan gente no coseno dt jose no de tdt ok y bueno ya nada más le llevamos aquí utilizando el teorema fundamental entonces nos quedaría menos y aquí la función es la de adentro nada más que ésta ya no la tenemos que evaluar entre sí no tenemos que evaluarla en el extremo superior que es x nos queda menos la raíz cuadrada del valor absoluto del coseno de x y listo
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