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Transcripción del video

pues en este vídeo lo que quiero ver es la anti derivada o la integral indefinida de la función 1 / x diferencial de x y bueno esto también lo podemos escribir de la siguiente forma la integral de x elevada a la menos 1 es diferencial de x y de lo primero que quiero que te des cuenta es que si usamos la regla de la potencia no funciona porque nos quedaría x elevado a la menos uno más uno que es cero entre cero y no podemos dividir entre cero entonces seguramente tú me vas a decir pero yo recuerda una función llamada el logaritmo natural de x que su derivada era 1 / x por lo tanto si usamos la lógica de la anti derivada esto me quedaría que es el logaritmo natural de x más una constante de integración y ya acabamos para que ver tanto vídeo pero hay que tener cuidado porque aunque no es una respuesta incorrecta y no estaría mal es una respuesta incompleta estas dos funciones no son iguales porque los dominios de estas dos funciones no son iguales para esta función su dominio es son todos los números reales excepto cuando x vale 0 aquí la única restricción es que x no valga 0 miente aquí está definida la función logaritmo natural para todas las x que sean positivas o de otra manera para las x que son mayores que 0 la verdad estaría genial que la derivada es la solución tuvieran el mismo dominio y si fuera así lograríamos que esto fuese una igualdad por lo tanto se me ocurre proponer a una función la cual sea solución a mí se me ocurre decir que si el logaritmo natural de x está definido para los números positivos entonces por qué no tomamos el logaritmo natural del valor absoluto de x por lo tanto esa base de mi propuesta será ésta la solución entonces el logaritmo natural del valor absoluto de x y bueno esta es mi pregunta será ésta la anti derivada de la función uno entre x y para esto lo que hice fue dibujar la gráfica por lo tanto lo mejor es que hagamos la gráfica pac y ha aparecido la gráfica y bueno yo sé que no se hacen a la gráfica pero por cuestiones de tiempo voy a poner la gráfica aquí que ya tenía hecha del logaritmo natural de x está la gráfica que ya conocíamos del logaritmo natural ahora cómo se va a ver la gráfica del logaritmo natural del valor absoluto de x bueno para la parte positiva se va a ver exactamente igual va a ser esto y todo esto de aquí se va a ver exactamente igual porque cuando x tome valores positivos entonces esta función va a ser la misma que el logaritmo natural de mientras que cuando es negativo lo que pasa es supongamos en menos 1 si pongo menos 1 me va a quedar el valor absoluto de menos uno que es uno y el logaritmo natural de uno que es cero y por lo tanto me va a quedar lo mismo que aquí a la derecha y si seguimos poniendo y sustituyendo números vamos a encontrar que la gráfica es exactamente la misma que la derecha solamente que abre esta vez hacia la izquierda son funciones simétricas entonces intentemos dibujar lo voy a intentar dibujar lo más simétrico posible y me va a quedar algo como esto que estoy dibujando ándale creo que no me quedo tan mal y esta va a ser la gráfica de y es igual al logaritmo natural del valor absoluto de x esta de rosa es la gráfica de y es igual al logaritmo natural del valor absoluto de xy ojo ten en cuenta que son las dos curvas tanto en la curva de la derecha como la curva de la izquierda y ahora primeramente en lo que me voy a fijar es que es lo que pasa cuando x es mayor que 0 y lo voy a escribir aquí cuando x es mayor que 0 pasa lo siguiente bueno lo que va a pasar es que el logaritmo natural del valor absoluto de x va a ser exactamente igual al logaritmo natural de x de x que estoy poniendo no no no el logaritmo natural de x ac caso y bueno entonces si x es mayor que 0 lo que va a pasar es que la derivada con respecto a x del logaritmo natural del valor absoluto de x pues va a ser igual a la derivada con respecto a x del logaritmo natural de x que por cierto ya sabemos que esto es lo mismo 1 / x la función 1 / x recuerden que todo esto pasa cuando x es mayor que 0 y ahora voy a dibujar la función 1 / x para que me quede también aquí en esta misma gráfica va a ser la función que está de color verde y es algo así mira que no me quedan tan mal las gráficas creo que tengo buen pulso y bueno esta gráfica es así y después sigue así al cruzar sigue decreciendo y que creen está es la pendiente de la recta tangente cuando x es mayor que 0 claro de la función logaritmo natural de x por ejemplo en este caso la pendiente de la recta tangente tendría que valer 1 y en la gráfica 1 entre x vale 1 o por ejemplo veamos otro caso cuando la x está muy pegada a cero que creen que es lo que pase pues claro las pendientes van a ser muy grandes y por lo tanto mi función 1 / x también toma valores muy grandes y de hecho va creciendo esta función va creciendo esta función y por lo tanto esta función va decreciendo la pendiente cada vez es menor llega a cero y vale 1 después de 1 las pendientes la recta tangente van decreciendo y se nota claramente en la curva 1 entre equis y bueno ahora qué va a pasar del otro lado de esta gráfica si nos fijamos en la gráfica cuando x es menor que cero de lo que nos vamos a dar cuenta que si nosotros tenemos la pendiente de mi recta tangente aquí va a ser la misma que acá solamente que negativa es decir la pendiente en efecto tangente en este punto tiene el mismo valor que la pendiente de mi recta tangente en este punto solamente que con signo negativo y si podemos observar eso entonces nos vamos a dar cuenta que la gráfica de la derivada se va a tener que ver de la siguiente manera para valores donde la x tiende a menos infinito la pendiente de la recta tangente que muestra la gráfica del logaritmo natural del valor absoluto de x son muy cercanos a 0 y por lo tanto la gráfica de la derivada va a estar pegado a 0 para el logaritmo natural del valor absoluto de menos 1 la derivada vale menos 1 y después cuando la gráfica del logaritmo natural del valor absoluto de x se acerca a 0 las pendientes de la recta tangente empiezan a decrecer demanda drástica y por lo tanto la gráfica de la derivada debe atender a menos infinito y se debe de ver algo así y para que estoy contando esto a bueno porque si nosotros hacemos la idea intuitiva podemos ver y aunque no lo he probado rigurosamente que entonces la derivada del lugar y natural del valor absoluto de x pues es este la función que tienen los valores de las pendientes de la recta tangente que nosotros queremos y vamos a apuntar lo la derivada con respecto a x del logaritmo natural del valor absoluto de x es uno entre x ojo para todas x que sea distinta de cero es decir para todas las x que sean mayores que 0 y para todas las x que sean menores que 0 se cumple esta igualdad y es justo lo que queríamos y con todo esto estoy enseñándoles que tienen los mismos dominios y eso era muy importante y aunque tal vez ésta no sea la prueba más fidedigna matemáticamente hablando de manera gráfica lo que quería es que se dieran cuenta de la interposición era necesario fijarnos en los dominios y ahora sí ya puedo concluir que la integral de 1 / x el dx es el logaritmo natural del valor absoluto de x más una constante de integración
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