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Contenido principal
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Transcripción del video

pues en este video lo que quiero ver es la anti derivada hola integral definida de la función 1 / x diferencial de x y bueno esto también lo podemos escribir de la siguiente forma integral de x elevada al menos una diferencial de x ó y de lo primero que quiero que te des cuenta es que si usamos la regla de la potencia no funciona porque nos quedaría x elevado al menos uno más uno que es cero entre cero y no podemos dividir entre 0 entonces seguramente tú me vas a decir o pero yo recuerdo una función llamada logaritmo natural de x que su derivada era uno / x por lo tanto si usamos la lógica de la entidad privada esto me quedaría que ese lugar es natural de x más una constante integración y ya acabamos para que ver tanto video pero hay que tener cuidado porque aunque no es una respuesta incorrecta y no estaría mal es una respuesta incompleta estas dos funciones no son iguales porque los dominios de estas dos funciones no son iguales para esta función su dominio es son todos los números reales excepto cuando x vale cero aquí la única restricción es que x no valga 0 mientras que aquí está definida la función logaritmo natural para todas las x que sean positivas o dicho de otra manera para las x que son mayores que 0 la verdad estaría genial que la derivada en la solución tuvieran el mismo dominio y si fuera así lograríamos que esto fuese una igualdad por lo tanto se me ocurre proponer a una función la cual sea la solución a mí se me ocurre decir que si el lugar es natural de x está definido para los números positivos entonces por qué no tomamos el logaritmo natural del valor absoluto de x por lo tanto estaba semi propuesta será esta la solución entonces el logaritmo actual del valor absoluto de x y bueno esa es mi pregunta será ésta la anti derivada de la función 1 / x y para esto lo que hice fue dibujar la gráfica por lo tanto lo mejor es que hagamos la gráfica pac pombo ha aparecido la gráfica y bueno yo sé que no se hacen en la gráfica pero por cuestiones de tiempo voy a poner la gráfica quique ya tenía hecha de logaritmos natural de x es la gráfica que ya conocíamos el hogar es natural cómo se va a ver la gráfica de lugaritz natural del valor absoluto de x bueno para la parte positiva se va a ver exactamente igual va a ser esto y todo esto de aquí se va a ver exactamente igual porque cuando x tomé valores positivos entonces esta función va a ser la misma que logaritmo natural de mientras que cuando es negativo lo que pasa es que pongamos en -1 si pongo menos uno me va a quedar el valor absoluto de menos uno que es uno y el organismo natural de uno que cero y por lo tanto me va a quedar lo mismo que aquí a la derecha y seguimos poniendo y sustituyendo números vamos a encontrar que la gráfica es exactamente la misma que la derecha solamente que abre esta vez hacia la izquierda son funciones simétricas entonces intentemos dibujar lo voy a intentar dibujar lo más y me tocó posible y me va a quedar algo como esto que estoy dibujando ándale creo que no me quedo tan mal y esta va a ser la gráfica de ye es igual a logaritmo natural del valor absoluto de x está de rosa es la gráfica day es igual al hogar y es natural del valor absoluto de xy ojo te dan cuenta que son las dos curvas tanto la curva a la derecha como la curva de la izquierda y ahora primeramente lo que me voy a fijar es qué es lo que pasa cuando x es mayor que 0 y lo voy a escribir aquí cuando x es mayor que 0 pasa lo siguiente bueno lo que va a pasar es que el logaritmo natural del valor absoluto de x va a ser exactamente igual a logaritmo natural de x dx que estoy poniendo no no al hogar es natural de x hace caso y bueno entonces si x es mayor que cero lo que va a pasar es que la derivada con respecto a x del hogar y natural del valor absoluto de x pues va a ser igual a la derivada con respecto a x del hogar y es natural de x que por cierto ya sabemos que esto es lo mismo que uno / x la función 1 / x recuerdan que todo esto pasa cuando x es mayor que 0 y ahora voy a dibujarla funcionó entre x para que me quede también aquí en esta misma gráfica va a ser la función que está de color verde y es algo así mira que no sean tan malas gráficas creo que tengo buen pulso y bueno esta gráfica es así y después sigue así al cruzar sigue decreciendo y que creen es la pendiente de la recta tangente cuando x es mayor que 0 claro de la función logaritmo natural de x por ejemplo en este caso la pendiente de la retratan gente tendría que valer 1 y en la gráfica 1 / x vale uno o por ejemplo veamos otro caso cuando la x está muy pegada a cero que creen que es lo que pase pues claro las pendientes va a ser muy grandes y por lo tanto mi función 1 / x también toma valores muy grandes y de hecho va creciendo esta función va creciendo esta función y por lo tanto esta función va decreciendo la pendiente cada vez menor llega a cero y vale 1 y después de uno las pendientes la recta tangente van decreciendo y se nota claramente en la curva 1 / x y bueno ahora qué va a pasar del otro lado de esta gráfica si nos fijamos en la gráfica cuando x es menor que cero de lo que nos vamos a dar cuenta que si nosotros tenemos la pendiente de mi recta tan gente aquí va a ser la misma que acá solamente que negativa es decir la pendiente de inmediato tangente en este punto tiene el mismo valor que la pendiente de venta tangente en este punto solamente que con signo negativo y si podemos observar eso entonces nos vamos a dar cuenta que la gráfica de la derivada se va a tener que ver de la siguiente manera para valores donde la x tienda - infinito la pendiente de la recta tan gente que muestra la gráfica de logaritmos natural del valor absoluto de x son muy cercanos a cero y por lo tanto la gráfica de la derivada va a estar pegado a 0 para el logaritmo natural del valor absoluto de -1 la derivada vale menos uno y después cuando la gráfica del lugar y natural del valor absoluto de x se acerca a cero las pendientes de la recta tangente empiezan a de crecer de manera drástica y por lo tanto la gráfica de la derivada debe tender a menos infinito y se debe de ver algo así y para qué estoy contando esto a bueno porque si nosotros hacemos la intuitiva podemos ver y aunque no lo probado rigurosamente que entonces la derivada del hogar natural del valor absoluto de x pues es ésta la función que tienen los valores de las pendientes de la retratan gente que nosotros queremos y vamos a apuntar lo la derivada con respecto a x del hogar y es natural del valor absoluto de x es uno entre x ojo para todas x que sea distinta de cero es decir para todas las x que sean mayores que cero y para todas aquellas que sean menores que cero se cumple esta igualdad y es justo lo que queríamos y con todo esto estoy enseñándoles que tienen los mismos dominios y eso era muy importante y aunque tal vez ésta no sea la prueba más fidedigna matemáticamente hablando de manera gráfica lo que querías que se dieran cuenta del aire por si era necesario fijarnos en los dominios y ahora sí ya puedo concluir que la integral de uno entre x diferencial de x es el hogar es natural del valor absoluto de x más una constante de integración
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