Introducción al método de cambio de variable

pues bueno ha llegado la hora de resolver una integral indefinida pero esta integración definida la vamos a tomar como la integral de 3x cuadrada más 2x y esto va a multiplicar el elevado a la x cúbica más x cuadrada y todo esto multiplicado por de x y bueno la primera vez que tú ves este tipo integrales tú dices yo no tengo un polinomio de x que a su vez está multiplicando a la función exponencial que a su vez está elevada a otro polinomio de x como se resuelve en este tipo de integrales sin embargo en esta ocasión vamos a tomar una nueva forma de integración que se llama la sustitución o la sustitución 1 o el cambio de variable es decir lo que vamos a hacer es renombrar a una nueva variable y tú me vas a decir qué es esto cómo vamos a hacer un cambio de variable pero fíjate la idea es pensar justo lo contrario a la regla de la cadena me voy a fijar primero en qué función tiene el exponente que en este caso es la función exponencial si nosotros pensamos un poco en el exponente de la función exponencial nos va a dar cuenta que es x pública x cuadrado es este que tenemos aquí y para darle mayor énfasis lo voy a cuadricular para que lo tomen en cuenta y bueno qué va a pasar si derivamos este exponente que depende de x es decir calculamos la derivada con respecto a x bueno curiosamente es 3x cuadrada más 2 x es decir es este polinomio que está multiplicando a la función exponencial y como es la derivada del exponente es justo cuando se nos ocurre pensar en la sustitución o o en el cambio de variable entonces voy a hacer el siguiente cambio de variable voy a decir que uno es igual a equis cúbica más x cuadrada ojo estoy poniendo la letra porque por convención se pone la letra u pero puede ser cualquier letra que se les ocurra y bueno calculemos la derivada de eeuu con respecto a x pues es la derivada de x cúbica más x cuadrada que es 3x cuadrada más 2x esta derivada ya las habíamos calcular fácilmente ahora lo que voy a pensar es que la derivada de eu con respecto a x pues realmente es un cambio muy pequeño es tan pequeño que podríamos decir que esto de aquí es un quebrado o dicho de otra manera esto es una fracción y si suponemos que esto es una fracción por lo tanto yo puedo escribir esto de la siguiente manera puedo multiplicar de ambos lados por de x y yo voy a obtener de x que multiplica de hubo entre de x es igual a 3 x cuadrada más 2x que multiplica de x pero de x que multiplica y de x que dividen si consideramos que son como quebrados se cancelan y por lo tanto tendría que de v es igual a 3 x cuadrada más 2 x de x esto se le conoce como la forma diferencial de esta derivada la diferencia del de 1 es igual a 3 veces x cuadrada más 2x diferencial de x y se dan cuenta es este y este que tengo yo aquí ahora lo siguiente que voy a hacer es escribir esta integral pero acomodando los términos para que se vea mucho más claro tienes de eeuu y quien es uno entonces tengo la integral de 3x cuadrada más 2 x 3 x cuadrada más 2 x que multiplica a de x ojo estoy pasando el de x primero porque el orden de los factores no afecta el producto a su vez multiplican al exponencial elevada a la x cúbica más x cuadrada y esto lo estoy haciendo para ordenarlo y que se vea claramente que aquí todo esto que tenemos es la diferencia del de eeuu mientras que el polinomio que se encuentra en el exponente es uno lo habíamos bautizado con el nombre de uno por lo tanto esto es un y estos de uno y ahora lo que voy a hacer es escribir esta integral pero haciendo el cambio de variable o dicho de otra manera voy a escribir esta integral en términos de la nueva variable y lo primero que tenemos es que todo esto que tenemos aquí es decir dv lo voy a poner hasta el final por convención porque así se escriben las integrales entonces por notación hasta atrás va de eeuu y después tengo de un que multiplica al exponencial elevado al x pública más x cuadrada pero esto lo habíamos llamado como entonces tenemos la integral de ea la diferencial de 1 y esta es una integral muy sencilla es una integral que ya sabemos resolver recuerden que podemos ver las integrales como anti derivadas es decir en este caso cuál es la función cuya derivada es y bueno estudiado teníamos una fórmula que decía que la integral de eeuu este domingo que elevado a la más una constante de integración nunca hay que olvidar la constante de integración y recuerden que esto es cierto porque derivamos a la 'u' su derivada es ella misma es decir por lo tanto ya tenemos anti derivada ahora esto está escrito en términos de un cuando trabajemos la sustitución lo que hay que hacer es la sustitución hacia atrás es decir escribir en términos de x o de la variable original esto es porque mi integral original está escrita en términos de x por lo tanto hay que regresarnos a términos de x y ya tenemos el resultado era la x cúbica más x cuadrada más cm es la solución de esta integral