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Transcripción del video

en este vídeo quiero familiarizarte con la idea del límite esta es una super idea que es la base de todo el cálculo y a pesar de ser una idea tan importante en realidad es una idea muy simple pero mucho muy simple así que déjame definir una función y definamos algo simple así como que fx es igual a x 1 dividido entre x menos uno un seguro vas a decir si tengo lo mismo en el numerador y en el denominador algo que está dividiéndose por sí mismo eso sólo sería igual a 1 que no podríamos simplificarlo simplemente a fx igual a 1 pero la diferencia de fx igual a 1 a esto que tenemos aquí es que esta expresión no está definida cuando equivale a 1 y si ponemos a ver voy a escribirlo por aquí efe de de ser uno no no digo es f1 esto va a ser en el numerador 11 que es pues un 0 y en el denominador será uno menos 1 que también es 0 así que cualquier cosa dividida por 0 incluyendo al 0 pues no está definido no está definido puedes hacer la simplificación o sea puede simplificar y decir que esto es exactamente igual que escribir de fx es igual a 1 pero tienes que agregar una restricción en la cual debes de indicar que x no puede tomar el valor 1 y así esta expresión y está de este lado son equivalentes esta y ésta van a tomar el valor de 1 para todos los valores de x que no sea el 1 así que como gráfico esta función una vez vamos a dibujar por aquí este es mi eje efe de x este que está acá es pues mi eje x y aquí voy a tener el valor de 1 x es igual a 1 de este lado esta x es igual a menos 1 ahora estará igual a 1 más abajo está el -1 pvc eso es tan importante así que para cualquier x distinto de 1 f x vale 1 o sea que se verá una línea como ésta continúa excepto en el punto que vale 1 aquí tengo un hueco así que lo voy a dibujar con este pequeño círculo para indicar que tengo un hueco en ese punto donde x vale 1 y luego continua la definición no nos dice qué vamos a hacer en ese punto es indefinida así que esta es la función la que tenemos aquí y si alguien nos preguntara cuánto vale efe de uno pues esta es una definición de una función y hay un hueco aquí déjenme volverlo a escribir aunque sea un poco redundante efe de uno no está definido pero qué pasa si les pregunto hacia dónde se está acercando esta función es decir a medida que x se va acercando más y cada vez más a uno así que cuando nos vamos acercando cada vez más y más y más a uno a donde se acerca la función por el lado izquierdo no importa que tanto me acerca a uno mientras no llegue a el fx sigue valiendo uno y por el lado derecho tenemos una situación muy muy similar así que podríamos decir y cada vez estarás más familiarizados con estas ideas porque además harás muchos más ejemplos que el límite esto es l&m cuando x se va acercando a 1 cuando se va acercando a uno de fx es igual a a medida que te acercas y te acercas increíblemente infinitamente te acercas y nuestra función será igual a 1 mientras x se acerca a 1 sin llegar a 1 durante todo el tiempo así diremos que él cuando x se va acercando a uno de fx es igual a 1 y bueno tenemos una anotación un poco caprichosa pero estamos reflexionando sobre qué pasa cuando x se acerca a 1 y qué pasa con fx es momento de hacer otro ejemplo para que tengas bien la idea general hagamos otro ejemplo y analicemos su gráfica solo digamos que tenemos efe de x aunque mejor lo cambiamos a g x para que haya un poco de variedad y estar definida como como x al cuadrado cuando x sea distinto de 2 y para cuando x sea igual a 2 estará definida como 1 así que otra vez tenemos un caso interesante en esta función como puedes ver no es continua presenta una discontinuidad y ahora voy a graficar la este es mi eje de la fd x este es mi eje x ahora voy a dibujar este cuando x vale 2 así que tengo el 1 tengo el 2 por este lado está el menos 1 aquí está el menos 2 y ahora voy a dibujar y en todos lados excepto en donde x vale dos tenemos x cuadrado que es una parábola así que vamos a dibujar la más o menos como no creo que mejor este vamos a hacer otro intento y si esta parábola se ve más o menos así y la verdad no es la parábola más bella en la historia del dibujo de parábolas y nos tiene que dar la idea de que hay una simetría pero mejor a de otro intento entonces en este intento a ver aquí vamos ya que eso aquí vamos y muy bien esto se ve muy bien entonces esta es la gráfica de x al cuadrado pero no es x al cuadrado cuando x vale 2 entonces otra vez en este punto cuando x es igual a 2 tenemos que tener una pequeña discontinuidad y voy a dibujar otro hueco en este punto cuando x vale 2 entonces vale 1 no lo estoy haciendo la misma escala y entonces digamos que es y aquí está el 4 aquí tengo el 2 y aquí ya estaría el 1 aquí el 3 así que cuando x vale 2 y nuestra función vale 1 es una función de un poco caprichosa así la podemos definir y las puedes definir como tú quieras y observemos es la gráfica de x cuadrado a lo largo de todos los valores excepto cuando x vale 2 en donde hay un hueco o sea no puede tomar el valor de x al cuadrado porque x vale 2 y tenemos que utilizar el valor de uno porque x vale 2 y utilizamos gdx gx que vale 1 cuando x vale 2 exactamente en el punto cuando vale 2 es en el único lugar donde vale 1 y en el resto se mantiene en la función bueno debería decir en x que es igual a x cuadrada bueno y es el momento de hacer preguntas si fuera evaluar g de 2 bueno me remito a la definición entonces cuando x vale 2 aquí me indica que tengo que usar este valor que me dice que tiene que ser igual a 1 pero vamos a las preguntas interesantes por ejemplo cuál es el límite cuando x se aproxima a 2 dg x otra vez estamos utilizando notación caprichosa pero estamos preguntando algo realmente simple que es lo que pasa cuando x se va acercando cada vez más y más al 2 que le pasa a gd x cuando x se acerca cada vez más y más al número 2 a medida que x se va acercando a 2 y esa es la definición rigurosa que hemos venido utilizando cuál será el valor al que se va acercando gdx es decir si tengo 1.9 o 1.99 o 1.99 999 o veámoslo por el otro lado qué valor toma de x cuando x vale 2.1 o 2.09 o 2.01 y observamos en la gráfica como x se va acercando cada vez más al 2 y haciendo un recorrido visual mientras x se acerca a 2 podemos ver que la gráfica se va acercando poco a poco aun cuando el valor de la función cae a 1 el límite de la función cuando x se acerca a 2 es igual a 4 también podemos hacer esto de manera numérica y hagámoslo con una calculadora a ver voy a traer mi calculadora tengo que encontrar la ni infalible calculadora finalmente aquí está y podríamos decir de manera numérica cuál es el valor cuando x se acerca a dos cuando x tiene el valor de 1.92 lo que nos indican aquí así tenemos 1.9 al cuadrado 3.61 pero qué pasa si me quiero acercar más por ejemplo con un 1.99 así que otra vez y esta vez obtengo 3.96 y qué pasa si ahora utilizo 1.999 y a eso lo elevó al cuadrado y ahora obtengo 3.996 y observen que si me quiero seguir aproximando a nuestro punto digamos que ahora utilizo 11.999 99 9999 al cuadrado que es lo que obtuve bueno no será exactamente 4 porque la calculadora hace redondeo pero podríamos decir que en realidad estamos muy muy muy muy muy cerca del 4 y podemos hacer algo similar si nos acercamos del lado derecho y obtendremos un resultado similar al que obtuvimos cuando nos acercamos por el otro lado veamos qué pasa si ahora pruebo con 2.1 al cuadrado obtengo 4.4 y ahora intentaré con 2.30 si 11 estamos más cercanos al 2 y lo elevó al cuadrado y nos vamos acercando cada vez más al 4 y entonces parece ser que a medida que nos vamos acercando y es una manera numérica de expresar lo que el límite sin importar la dirección en la que nos acerquemos de x cuando se acerca a 2 aún cuando en ese punto esté definido como 1 en el límite nos acercamos al 4
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