Límites de funciones compuestas: el límite externo no existe

Por aquí tenemos dos funciones que han  sido definidas de forma visual o gráfica:   a la izquierda tenemos la gráfica de g(x)  y a la derecha tenemos la gráfica de h(x),   y lo que quiero que hagamos es encontrar el lim  g(h(x)) cuando x → 1. Pausa el video e intenta   encontrar la respuesta. Bien, trabajemos juntos.  Lo primero que puedes tratar de hacer es buscar   el lim x → 1 h(x), y cuando lo vemos en la gráfica  ¿a qué será igual? Bueno, cuando nos aproximamos a   x = 1 por la izquierda, parece que h(x) tiende  a 2; cuando nos aproximamos por la derecha,   también parece que h(x) tiende a 2, así que parece  que este límite será 2. Entonces, podemos decir   "Tal vez podemos poner este valor dentro de g.  ¿Cuánto es g(2)?" Bueno, g(2) es 0, pero el límite   no parece estar definido. Cuando nos aproximamos a  x = 2 por la derecha, parece que g(x) tiende a 0,   y cuando nos aproximamos a x = 2 por la izquierda,  g(x) tiende a -2, así que tal vez este límite no   existe. Pero si lo estás pensando así, nos falta  analizarlo un poco más, porque lo que debemos   hacer es ver este límite en términos del límite  por la izquierda y del límite por la derecha,   así que pensémoslo de esa forma. Primero pensemos  en cuál es el límite cuando x → 1 por la izquierda   de g(h(x)). Bueno, si lo pensamos de esta forma,  cuando nos aproximamos a 1 por la izquierda,   podemos ver que h(x) se aproxima a 2 también por  la izquierda, o podemos decir que se aproxima   a 2 desde abajo, es decir, desde valores menores  que 2; por lo tanto, el valor que pongamos dentro   de g(x) se aproxima desde abajo, desde valores  menores que 2, por lo tanto, lo que pongamos en   g se aproxima a 2 desde valores menores que 2,  es decir, si nos aproximamos a 2 desde abajo,   por aquí, ¿a qué se aproxima g? Parece que g se  aproxima a -2, así que parece que esto será -2,   al menos el límite por la izquierda. Ahora  calculemos el límite por la derecha. ¿Cuál   es el límite cuando x → 1 por la derecha de  g(h(x))? Bueno, podemos hacer lo mismo. Cuando   nos aproximamos a 1 por la derecha, parece que h  se aproxima a 2 desde abajo, desde valores menores   que 2; entonces, si nos aproximamos a 2 desde  valores menores, desde abajo -porque recuerda:   sea cual sea la salida de h, será la entrada de  g-, por lo tanto, si lo que ingresamos en g   se aproxima a 2 por debajo, significa que g, una  vez más, se aproximará a -2. Así que aquí tenemos   un caso muy, muy, muy interesante, donde el lim  g(x) x → 2 no existe, pero cuando nos aproximamos   desde ambos lados, desde la izquierda y desde  la derecha, h se aproxima a 2 desde abajo,   y entonces en ambos casos podemos  pensar en el límite por la izquierda,   cuando nos aproximamos a 2 desde abajo, o desde  la izquierda de g porque en ambas situaciones   nos aproximamos a -2. Así que ese será el límite  que buscamos, cuando el límite por la derecha y el   límite por la izquierda es el mismo; entonces,  ese será nuestro límite, es igual a -2.