Límites por medio de factorización

supongamos que tenemos una función f x igual a x al cuadrado más x menos 6 todo esto sobre x2 entonces tenemos curiosidad vemos esta función y queremos saber cuál es el límite de fx mientras se extiende a 2 entonces lo primero que hace es lo que quieres intentar hacer es ver qué sucede cuando evaluarse en dos que es f evaluada en 2 ahora bien esto no siempre será el límite aún si está definido pero es una muy buena manera de iniciar para ver si algo razonable sale de aquí si evaluamos efe en dos en nuestro numerador obtendremos 2 al cuadrado más 2 menos 6 entonces 42 menos 6 eso es 0 en el numerador es cero y 0 en el denominador cierto y qué nos dice eso eso nos dice que la función no está definida entonces lo voy a escribir aquí por lo tanto efe no está definida si fuera una función continua otro gallo cantará entonces en ese caso si sería el límite si se podría evaluar vaya pero bueno aquí aquí no aquí vemos una función una función que no está definida entonces vemos si podemos simplificarlo esto es bueno claro vamos a intentar también graficar lo de alguna manera primero vamos a factorizar esto en el numerador a esta expresión la podemos reescribir de la siguiente manera recordando el curso de álgebra 12 números cuyo producto sea menos 6 y suma sea 1 esto podría ser 3 y menos 2 cierto entonces tenemos x + 3 por x 2 todo esto sobre x menos 2 y siempre y cuando x no sea 2 estas dos cosas se pueden cancelar ajá pero entonces podríamos decir que esto es igual a x + 3 x 3 para todas x excepto x igual a 2 entonces x distinta de 2 y otra manera de ver esto de reescribir a nuestra f x lo voy a hacer en color azul es la misma función podemos reescribir a fx decir que esto es igual x 3 cuando x es distinta de 2 o decir que está indefinida cuando x es igual a 2 así que dada esta definición queda aún más claro cómo podemos graficar efe x cierto así que intentemos hacerlo aquí voy a esto esto no es una línea recta esto es una línea recta o que esto está mucho mejor esto es mi eje igual a fx y acá tenemos nuestro eje de las equis saja y bueno está definido de esta manera fx es igual a x + 3 si estoy aquí es aquí tenemos 1 1 2 3 y aquí se intersecta y la pendiente es de 1 entonces está definido para todo x excepto cuando x es igual a 2 entonces aquí tenemos x igual a 1 x igualados por lo tanto cuando x es igual a 2 más o menos por aquí justo aquí está indefinido y por lo tanto así se mira la función f x nuestra función f x se ve así ahora bien dado esto vamos a intentar responder a nuestra pregunta cuál es el límite de fx mientras x tiende a 2 entonces bueno podríamos ver esto gráficamente mientras se aproxima a 2 desde valores menores aquí tenemos x igual a 2 supongamos que llegamos al 1.7 entonces vemos que nuestra efe x estará más o menos por aquí si llegamos al 1.9 nuestra efe de x estará más o menos por acá entonces parece ser que si se aproxima a este valor de aquí similarmente si nos aproximamos a 2 desde valores mayores que 2 si estamos supongamos que no sé de 2.5 en 2.5 en nuestra fx está por acá entonces vemos que poco a poco estamos más cerca de 200 otra manera de pensar en ello si camináramos por esta línea vamos por aquí y vamos caminando por esa línea entonces vemos que en esta dirección positiva parece ser que aproximamos a este valor y si caminamos por esta dirección la de valores menores que 2 vemos que también nos estamos aproximando a este valor y ese es el valor de x 3 y decimos que x es igual a 2 entonces este valor es igual a 5 si simplemente lo visualizamos esto es 5 significamos una línea con pendiente 1 y la intersección es en x igual a 3 este valor será 5 ahora podríamos hacer esto numéricamente así que vamos a hacer esto numéricamente ok lo intentamos aquí están aquí está esto lo borro y lo nuevo que está es nuestra función original así está definida así que intentamos meter valores cada vez más cercanos a 2 por ejemplo primero para poner el primer ejemplo 1.999 ahí está esto nos va a acercar bastante al sumarle 3 nos acerca bastante a 5 como puedes ver si yo meto aquí más 9 es más cercanos estaremos a 5 ahora intentamos valores mayores que 22.000 0013 también nos acerca bastante a 5 nos estamos acercando a 5 desde el lado positivo y ya sea que lo vemos numéricamente o gráficamente parece bastante claro que el límite en esta función el límite de esto será 5 y bueno nos vemos