Introducción al teorema de comparación (o del sándwich)

ahora vamos a trabajar con uno de mis teoremas favoritos en matemáticas y ese es el teorema del sándwich y una de las razones por las cuales me gusta es porque justo porque tiene la palabra sándwich en su nombre que no es tan común ver esto en matemáticas pero es un nombre apropiado ok entonces vamos a trabajar con el teorema teorema del sándwich teorema del sándwich y que a veces es bueno sobre todo por otros al traducirlo de otros idiomas a veces también se le conoce como el teorema de la pep del apretón teorema del apretón y verás que realmente son dos nombres muy apropiados para lo que nos referimos con este teorema y para para introducirnos a la intuición de este teorema vamos a pensar en una analogía y ver vamos a vamos a ver a qué nos referimos entonces digamos que tenemos tres personas digamos que aquí está no sé que aquí está alfredo ok aquí está alfredo digamos que también tenemos a nuestra sara y digamos también que está guillermo que está guillermo aquí ok entonces tengo estas tres personas y tengo una una observación respecto de ellas resulta que no importa qué día sea siempre alfredo consume menos calorías que zara y zara consumen menos calorías que guillermo muy bien entonces vamos a vamos a escribir esto digamos sara sara come come al menos tanto como alfredo ok entonces al menos tanto como alfredo eso quiere decir que estará al menos con que come al menos tanto como no come como alfredo quiere decir que sara tiene un consumo de calorías mayor o igual que alfredo muy bien ahora bien vamos a describir qué es lo que pasa con guillermo guillermo guillermo como guillermo come al menos tanto como sara muy bien y esperemos que este no sea mucho porque les puede hacer daño a su salud pero esto pasa cualquier día en cualquier día particular siempre ocurre que guillermo come al menos tanto como zara y zara come tanto al menos como alfredo muy bien qué significa eso en su consumo de calorías cada día quiere decir que las calorías que consume alfredo cada día que las calorías de alfredo pues éstas van a tener que ser algo más es decir menores o iguales que las calorías calorías de sara muy bien ahora como como guillermo come al menos tanto como comenzará entonces esto debe ser menor o igual que el consumo de calorías de guillermo cada día muy bien muy bien ahí lo tenemos entonces supongamos ok esto es la relación que hay entre el consumo de calorías de estos tres personajes ahora el detalle es que supongamos que digamos un día martes no sé quizás no sé un día martes se ponen de acuerdo y alfredo alfredo consume 1500 calorías muy bien digamos que alfredo consume 1500 calorías y digamos que guillermo también no comió mucho ese día y guillermo consume 1500 calorías muy bien ese día estos dos amigos consumen exactamente lo mismo que es lo que va a pasar resulta que el número de calorías que consumen sara es mayor o igual que el número de calorías que consume alfredo eso es mayor o igual que 1500 muy bien pero al mismo tiempo es menor o igual que el número de calorías que consume guillermo que son también 1500 así que nos podemos preguntar cuántas o cuales es el número que está por arriba de 1500 y por abajo de 1500 y entonces llegamos a la asombrosa conclusión de que sarah consume 1500 calorías verdad es el único número que está por arriba de 1500 y por abajo de 1500 verdad que está que es mayor o igual que 1500 y menor o igual que 1500 muy bien entonces el teorema del sándwich que vamos a ver es la versión digamos para funciones de este mismo ejemplo muy bien vamos a pensar por ejemplo que las calorías el número de calorías que consumen cada uno son funciones que dependen del día muy bien entonces voy a borrar todo esto y vamos y lo voy a borrar justo para ponerme un poquito más matemático y poder trabajar con ello sale entonces sí es importante que tengas muy en mente este ejemplo porque vamos a hacer exactamente lo mismo pero para funciones entonces digamos que tengo yo una función efe de x f x que justamente va a ser como las calorías que consume alfredo va a ser menor o igual kg de x muy bien donde pueden ser las calorías que consumen sara y esto es menor o igual que hdx que son las calorías digamos que consume guillermo muy bien entonces para ver esto más vamos a poner lo digamos dibujado en una gráfica ahí tienen ustedes el eje y este es el eje y y vamos a poner el eje x ahí lo tienen muy bien entonces si pintamos una f más bien primero pintamos la que está por arriba de las dos digamos que esta es nuestra hdx ok ahí tienen la gráfica de hdx y vamos a pintar ahora la gráfica fx no sé digamos que hace algo muy extraño por aquí oops déjenme ponerlo con el mismo color digamos que hace algo así de repente puede estar por aquí muy bien ahí está la gráfica de fx ahora si nosotros queremos pintarla de gx está por supuesto siempre debe estar entre la roja y la azul verdad entonces aquí tenemos que la gráfica de eje x tiene que verse más o menos algo así muy bien entonces aquí está dibujado justamente lo que nos dice esta relación y bueno esto lo podríamos pensar quizás sólo en un intervalo no necesariamente tiene que ser en toda la recta pero aquí queda muy clara la idea ahora vamos a suponer lo siguiente para este punto digamos existe un punto ce algún punto ce tal que la roja y la azul son idénticas se van pareciendo idénticamente en ese punto digamos que valen l y ahora cuando digo valen en realidad estoy pensando en lo siguiente que el límite cuando x se aproxima hace de nuestra función f x será igual a un valor l y que también el límite cuando x se aproxima hace de nuestra función hdx tiene el mismo valor ahora puede que estas funciones h y f no estén definidas en ce lo que importa es que el límite exista a medida que nos aproximamos hace muy bien entonces lo que nos dice el teorema del sándwich y que por eso se llama el teorema del sándwich puedes pensar que la función f es como la tapa inferior de un sándwich y la función h es la tapa superior de un sándwich muy bien entonces qué pasa con la g de x la gtx qué pasa cuando nos aproximamos a c es decir que ocurre con el límite cuando x tiende hace de nuestra función g x muy bien y justamente aquí está esta imagen nos está diciendo todo verdad estas dos cosas van a implicar que el límite de esta función de x exista y sea también l muy bien entonces tú dirás hoy esta es una cosa como de sentido común vas el dibujo para qué es esto útil y en realidad es muy práctico para calcular algunos límites donde podrías poner una función quizás muy extraña entre dos que si conoces y así poder digamos ponerlo en medio del sándwich y saber cuál es el valor del límite que nos interese