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Transcripción del video

en los últimos vídeos hemos aprendido como aproximado una función arbitraria que es diferenciable dos veces diferenciable tres veces diferenciable varias veces diferenciables como es aproximar la alrededor de x igual a 0 utilizando para esto un polinomio si tenemos un polinomio de primer grado más bien un polinomio de grado 0 obtenemos una recta horizontal lo cual no es una gran aproximación si tenemos una aproximación de primer grado entonces podemos incluir una pendiente a la recta que pasa por ese punto y tenemos una aproximación de orden 2 entonces obtenemos algo que se encima la función un poco más si hacemos la aproximación de tercer orden obtenemos algo que es encima por intervalo aún más largo pero todo eso era enfocándonos en cero o aproximando la función alrededor de x igual a cero desarrollamos lo que se conoce como la sedema chloride o más en general la serie de taylor para x igual a 0 lo que quiero hacer ahora es expander este concepto generalizarlo y hacer la expansión de la serie de taylor alrededor de cualquier valor de x supongamos entonces que queremos hacer para esta función alrededor de un punto arbitrario digamos x igual hace podemos hacer lo mismo podemos decir bueno la primera aproximación de esta función es el polinomio vamos a poner lo mejor aproximaciones el polinomio pdc para ser más precisos pd x si éste va a ser un valor constante para empezar deberá de ser entonces el valor que toma la función en ese punto esto es p de x igual a fcc fcc es una constante es ese valor que está aquí suponemos que se está dada y lo que tenemos entonces una recta horizontal que pasa por efe de s&p de x es igual a fcc no es una muy buena aproximación entonces lo que podemos hacer para la siguiente aproximación es contemplar la restricción por este ajuste más el ajuste que da la primera derivada lo que este ajuste nos dio tan sólo para tenerlo en mente es que el polinomio s el primer ajuste que desee va a ser igual a efe bc si en vez de x ponemos c tenemos que ps es igual a fcc ahora llevemos la restricción a la siguiente etapa qué pasa si queremos mantener esta restricción y además queremos que la primera derivada del polinomio evaluado en c coincida con la derivada de la función evaluada en c queremos que ambas sean iguales para esta situación y vas a notar que vamos a hacer lo mismo que hicimos en vídeos anteriores simplemente vamos a tener que hacer un ajuste para movernos de x igual a 0 entonces para esta situación queremos que el polinomio p de x sea igual a fdc + efe prima en c f freeman ce queremos capturar la información de la derivada en este punto dada por f prima de c y aquí vamos a hacer un pequeño ajuste a lo que hicimos anteriormente esto lo tenemos que multiplicar por x menos c veamos qué es lo que hace este menos vemos que lo que está ocasionando este menos c pero primero probemos que no se ha alterado lo que hicimos anteriormente evaluamos entonces esto en c etc entonces evaluar la función en el polinomio sea otro color pdc este no es otro color o agarrar otro color horas y pdc es igual a etc es una constante se mantiene más f prima de c por x menos pero cuando x es esto hacerse menos lo cual es cero este término se cancela y toda esta expresión todo esté sumando se cancela y resulta que tenemos pdc es igual a fcc que era lo que teníamos anteriormente y la razón por la cual este término se canceló es porque lo hemos multiplicado por x - x c con 2 x vale ccm se hace 0 y hemos cancelado ese término x c cuando x vale c hace que este y los siguientes términos se vayan a hacer verifiquemos ahora esto entonces le damos de prima de c más bien prima de x va a ser igual la derivada de esto pero la deriva de esto es la iba de una constante es decir la derivada de fdc va a ser igual a cero entonces sólo nos queda la derivada de este término podemos expander este término para que sea que prima de c por x menos f prima de c por ser la derivada de séptima de c porsche es igual a 0 y sólo nos queda f prima de c por x al derivar lo sería este prima de c toda la idea del polinomio es una constante lo cual obviamente si lo evalúa sense te da que prima de c es igual a efe prima de c así de nueva cuenta cumple con la segunda restricción ahora cuando tomamos en cuenta ambos términos para nuestra próxima acción ésta se va a ver algo así esto se verá así y por lo menos tiene la misma pendiente de la función fx nuestra aproximación va mejorando y seguimos haciendo esto estamos usando la misma lógica que usamos cuando hicimos la expansión alrededor de x igual a cero la expansión de mayor y tenemos entonces que la aproximación por series de taylor aproximación general por seres de taylor alrededor de exigua la se resulta en el polinomio que llamaremos p de x y esto es muy similar a lo que hicimos anteriormente entonces pd x va a ser igual a efe de c la primera aproximación más f prima de c por x menos c que obtuvimos con la primera derivada con la información de la primera derivada y equipo es adivinar que continuamos con los siguientes términos similares a los que generamos en la serie de mclaren checa los vídeos anteriores aquí se complica un poco sobre todo porque tienes que expandir estos binomios pero es exactamente la misma lógica más el término del segundo orden que es fbi prima en c sobre 2 factorial lo mismo que hicimos en la serie maclaurin y podríamos decir que aquí tenemos que dividir entre 1 factorial pero no me tome la molestia indicarlo pues en realidad esto no cambia el valor de la expresión entonces qué es esto por x menos c al cuadrado más efe trip y más evaluada en ce sobre 3 factorial por x c al cubo yo creo que con esto ya tiene la idea general pues sigues agregando términos con este patrón desgraciadamente es un poco tedioso el desarrollo de estos términos y quiérase el trabajo si quieres usar este trabajo está bien sin embargo lo que problema es que aquí tenemos este término x menos c aquí tenemos en vez de x cuadra tenemos x menos y al cuadrado aquí tenemos x menos sea al cubo esto hace un poco tedioso el desarrollo analítico de la serie lo que es un hecho es que al agregar más términos tenemos una mejor aproximación de la función alrededor de malo arbitrario de ese en contraposición de alrededor de x igual a 0 te mostraré es usando wolframalpha en el siguiente vídeo
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