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Contenido principal
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Transcripción del video

aquí dibujé una función arbitraria lo que intentaremos hacer en este vídeo es aproximar la función con un polinomio al cual cada vez le pondremos más y más sumandos para esto vamos a necesitar suponer algunas cosas vamos a suponer que f se puede evaluar en cero pero además de esto vamos a suponer que éste se puede derivar repetidamente es decir que existe en la primera la segunda la tercera derivada y que todas esas las podemos evaluar en x igual a 0 es decir estamos suponiendo que sabemos quiénes df de 0 quien es f prima de 0 también sabemos quién es efe doble prima de 0 también conocemos efe le pondré 3 lo mejor lo voy a poner efe triple prima de 0 y así sucesivamente entonces vamos a pensar cómo podemos aproximar que suceda esto con las derivadas usando polinomios que van aumentando en longitud vamos a empezar con algo muy sencillo un polinomio constante es decir un polinomio de grado 0 al parecer aquí tenemos muy poca flexibilidad pues sólo podemos dar un valor hay que aprovecharlo muy bien bueno al menos intentamos que el polinomio evaluada en cero coincida con efe evaluada en cero es decir vamos a ponerle que p de cero donde p es el polinomio que vamos a proponer vamos a ponerle que p de cero queremos que sea igual a efe de cero si queremos lograr esto con un polinomio constante o sea un polinomio de grado cero pues estamos forzados a tomar el polinomio que está dado por p de x igual a efe de 0 vamos al dibujo a ver cómo se ve quedaría más o menos una recta horizontal paralela al eje x sale y entonces tú me puedes decir estás aquí es una aproximación súper chafa únicamente pasa por este punto algunos cuantos más por aquí se parecen muy poquito y entonces yo te respondería a ver intenta hacer algo mejor fíjate que al menos logramos hacer que nuestra aproximación coincidiera con efe en x igual a cero esto es lo mejor que podemos hacer con una constante ahora déjame hacer una aclaración efe de cero podría no parecer constante pero recuerda que ya tenemos una f dada y ya está evaluado en un punto dado entonces aquí hay un número ahora es el número lo pusimos de este lado tomamos el polinomio igual a efe de 0 y eso nos da una línea horizontal a la altura f de 0 bueno esto de aquí parece que aún no está suficientemente padre pongamos más restricciones además de pedir que puede cero sea igual f de cero vamos a pedir también que p es que p prima de 0 también sea igual a efe prima de 0 es decir lo voy a poner con otro color a ver también queremos que esto de aquí no es un nuevo color ahora si queremos que prima de 0 es decir la primera derivada de nuestro polinomio cuando lo evaluamos en cero sea igual a efe prima entonces no queremos perder esta condición de aquí arriba simplemente estamos añadiendo algo más déjame proponer p de x igual a efe de cero es decir tomamos el pd x anterior pero ahora vamos a añadir un nuevo sumando vamos a ponerle más f prima de 0 x x vamos a ver qué sucede con este polinomio a ver si usamos p de x como nuestro nuevo polinomio que sucede quienes p de 0 a ver de 0 es igual a pues es igual a efe de 0 y luego vamos a sumar f prima de 0 x x pero cuando x vale cero entonces nos va a quedar cero verdad si ponemos x igual a cero se cancela entonces simplemente nos queda puede ser igual a efe de cero y eso está súper padre palomita eso es lo que queremos va ahora vamos a la derivada la derivada de px es prima de x y es igual a werder y vemos esto aquí hay una constante entonces su deriva de 0 y de este lado tenemos f prima de 0 por x pues simplemente nos queda el coeficiente o sea f prima de 0 ahora evaluamos en x igual a 0 entonces vamos a ponerle prima de 0 y entonces eso de ahí es igual a pues la derivada del polinomio evaluado en 0 está un poquito raro verdad porque tenemos pues un p prima y un f prima y así pero si siempre tenemos muy claro quién es la variable va a estar fácil aquí está muy fácil verdad que prima es simplemente f prima de 0 esta derivada es constante pues aquí tenemos un número éste número viene desde el principio verdad cuando asumimos que f tenía derivada y que la podíamos evaluar en 0 esto nos da acá abajo una constante de este modo si p prima de x siempre se fue prima de 0 entonces claramente prime evaluada en 0 también va a ser igual a efe prima de 0 pero lo que está padre de este nuevo polinomio este de aquí que acabamos de inventarnos con un término constante y un término lineal lo que está padre de ese polinomio es que ahora coincide con efe en x igual a 0 verdad aquí pero no sólo eso sino que también tiene la primera derivada igual para x igual a 0 es decir también tiene la misma pendiente entonces bueno vamos a hacer un dibujo entonces el dibujo nuevo se vería más o menos así es decir es una línea que tiene la misma pendiente que f en x igual a 0 y además pasa por el punto cero efe de cero eso está muy bien vamos avanzando le pero de todas formas pues no está como que súper padre esta aproximación aquí todavía tenemos simplemente una línea pero la f todavía está un poco curva vamos a mejorar nuestra aproximación con la segunda derivada para lograr que tengan la misma segunda derivada pero conservando que tengan la misma primer derivada y el mismo valor en cero vamos a tener que hacer algo un poco más interesante déjame proponer una función más voy a ponerle por aquí pd déjame dejar primero antes claro que este fue nuestro primer intento que este de aquí fue nuestro segundo intento y ahorita vamos a pasar al tercer intento en este tercer intento el objetivo es que el polinomio coincida con efe en cero además que su primer derivada coincida con la de f en zero y además que su segunda derivada también coincida con la défense ero entonces voy a ponerle p de x iguala y lo primero va a ser copiar esto lo del término anterior entonces le voy a poner efe de 0 + f prima de 0 por x es decir esto de aquí y luego voy a sumar un tercer término que voy a poner en verde más más y aquí voy a poner un medio que espero que luego se explique porque lo estoy haciendo entonces más un medio de fbi prima es decir la segunda derivada de la función evaluada en 0 x x cuadrada cuando evaluamos la segunda derivada nos explicaremos por qué aquí está este un medio pero vamos paso a paso vamos a empezar con p de 0 a ver qué pasa con p de 0 déjame ponerlo aquí abajo entonces p de 0 es igual a pues a ver aquí tenemos un f de 0 sumado con algo x 0 y con otra cosa también por 0 así esos dos sumando se cancelan y solamente nos queda efe de cero eso va muy bien ahora vamos con la derivada de px la voy a escribir aquí a la derecha en amarillo entonces pp prima de x es igual a haber esta constante f de 0 tiene derivada 0 y por tanto nos queda efe de 0 x un 1 y luego hay que sumar aquí este 2 baja verdad porque estamos derivando un x al cuadrado 2 por un medio es un 1 entonces nos queda más f doble prima de 0 x x es decir el 2 lo multiplicamos y bajamos el exponente en 1 vale entonces creo que esto explica un poquito porque pusimos el 2 lo que hace es compensar el hecho de que la derivada nos va a bajar un 2 y va a multiplicar por ahí ciertas cositas verdad cuánto vale prima de 0 haber prima de 0 es igual a pues a ver aquí tenemos esto que se hace cero y nos queda simplemente f prima de 0 entonces es igual a efe prima de 0 hasta ahí vamos muy bien hasta ahorita nuestro polinomio de tercera generación tiene todas las propiedades de los primeros dos vamos a ver qué pasa con la tercera derivada pero perdón con la segunda derivada es decir p prima digo de doble prima de x haber es la derivada de esta constante que es cero y luego la derivada de este término lineal que ese doble prima de cero esta de ahí es la segunda derivada ahora cuál es la segunda derivada evaluada en cero pues misma idea del argumento de antes simplemente es la constante f prima de cero baja eso está muy padre verdad al agregar este término no sólo logramos que pe de cero fuera igual a efe de cero y además que prima de cero fuera igual a efe prima de cero sino que también logramos que p doble primer cero sea igual a efe doble primer cero es decir ya coincide el valor y las primeras dos derivadas estoy aquí ya parece como que pues nos va a aproximar muy bien a efe verdad y más aún parece ser que tenemos un patrón parece ser que podemos ir aumentando términos para que cada vez nos aproximemos más y más a las derivadas que nosotros queremos es decir a las derivadas de la función original vamos a hacerlo en general si quisiéramos seguir haciendo esto y tuviéramos mucho tiempo entonces tendríamos que hacer lo siguiente tendríamos a ver lo voy a poner con otro color más lo voy a poner con este rojo entonces p de x la podemos proponer como sigue lo primero es efe de 0 el primer sumando de siempre luego hay que poner un f prima de 0 x x luego ya vimos que hay que sumar un f doble prima evaluada en 0 x un medio de x al cuadrado simplemente reescribir esto un poquito diferente y luego hay que sumar pues ahora vámonos a la tercera tenemos que poner f triple prima evaluada en cero y luego hay que multiplicar por el un medio que teníamos antes y luego un tercio que vamos a necesitar 1 entre 2 x 3 x x al cubo a ver sigamos esto se está poniendo interesante a lo mejor podemos descubrir un patrón más entonces si quisiéramos que las cuartas derivadas coincidieran tendríamos que sumar f prima prima prima prima aquí convendría poner un 4 pero lo voy a dejar así mientras evaluada en 0 x a ver esto anterior lo voy a poner pero en orden contrario y voy a poner un 4 4 x 3 x 2 y eso de ahí x x a la aumentamos 1 x a la cuarta puedes verificar lo por tu cuenta si deriva este polinomio 4 y evaluarse en cero te aseguro que vas a obtener la cuarta derivada de f evaluada en cero esto podríamos seguirlo si quisiéramos continuar podríamos sumar y sumar términos y el enésimo término se vería como la enésima derivada de f evaluada en cero multiplicada por x sala n dividida entre n factorial fíjate que eso es lo mismo verdad aquí tenemos un 4 por 3 por 2 que es 4 factorial bueno nos falta un 14 por 3 por 2 por 1 pero el 1 no tenemos por que escribirlo aquí tenemos un 3 factorial verdad tenemos un dos por tres pero es lo mismo que 3 por 2 por x 1 otra vez el 1 no hay que ponerlo aquí tenemos un 2 factorial 1 2 por 1 aquí abajo tenemos bueno nada pero es lo mismo que poner un 1 factorial porque eso es un 1 y aquí pues tenemos esto dividido entre 0 factorial que también es igual a 1 recuerda por definición cuando seguimos esta serie ir sumando y sumando términos hasta tener una infinidad se dice que hemos encontrado la serie de mclaren de f serie de mac loring este es un resultado de aproximación bien poderoso después vamos a ver algunos resultados muy padres que salen a partir de esto en la gráfica lo que está pasando es lo siguiente en el primer paso tenemos una línea horizontal en el segundo paso coincide la función en f de 0 y además coincide la derivada entonces también tenemos una recta pero ahora esa recta tiene la misma pendiente que f en cero cuando agregamos un segundo grado entonces tenemos una parábola y esa se va aproximando a efe para el tercer grado se ve más o menos así para cuarto grado se empieza a pegar cada vez más a efe y conforme sumamos más y más términos la gráfica se empieza a parecer más y más a la de efe sobre todo cerca de x igual a 0 en teoría si sumamos una infinidad de estos términos y claro dijo en teoría porque pues todavía no lo he demostrado pero en teoría si sumáramos una infinidad de estos términos entonces todas las derivadas coincidirían y acabaría pasando que las gráficas de ambas funciones se verían igualitas en el siguiente vídeo voy a hacer esto pero con algunas funciones muy concisas pues para fijar ideas como comentario final la serie de más gloria inés el caso particular de cuando centramos en 0 la serie de taylor en la serie de taylor podemos centrar la aproximación donde queramos pero vamos con calma nos enfocaremos en mclaren
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