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Contenido principal
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Transcripción del video

aquí dibujar una función arbitraria lo que intentaremos hacer en este vídeo es aproximar la función con un polinomio al cual cada vez le pondremos más y más humanos para esto vamos a necesitar suponer algunas cosas vamos a suponer que se puede evaluar en cero pero además de esto vamos a suponer que se puede derivar repetidamente es decir que existe en la primera la segunda la tercera derivada y que todas esas las podemos evaluar en x igual a cero es decir estamos suponiendo que sabemos quiénes f0 quienes efe prima de cero también sabemos quiénes efe doble prima de cero también conocemos efe le pondré 31 mejor voy a poner efe triple prima de cero y así sucesivamente va entonces vamos a pensar cómo podemos aproximar que suceda esto con las derivadas usando polinomios que van aumentando en longitud vamos a empezar con algo muy sencillo un polinomio constante es decir un polinomio de grado cero al parecer aquí tenemos muy poca flexibilidad pues sólo podemos dar un valor hay que aprovecharlo muy bien bueno al menos intentamos que el polinomio valuada en cero coincida con efe valuada en cero es decir vamos a ponerle que pd cero donde psl polino lo que vamos a proponer vamos a ponerle que pd 0 queremos que sea igual a efe de cero si queremos lograr esto con un polinomio constante o sea un polinomio de grado cero pues estamos forzados a tomar el polinomio que está dado por pd x igual a efe de cero vamos a dibujo a ver cómo se ve que daría más o menos una recta horizontal paralela al eje x sale y entonces tú me puedes decir estar aquí es una aproximación súper chafa únicamente pasa por este punto y algunos cuantos más por aquí se parecen muy poquito y entonces yo te respondería a ver intenta hacer algo mejor fíjate que al menos logramos hacer que nuestra aproximación coincidiera con efe en x igual a cero esto es lo mejor que podemos hacer con una constante ahora déjame hacer una aclaración efe 0 podría no parecer constante pero recuerda que ya tenemos una esperada y está evaluado en un punto dado entonces aquí hay un número ahora ese número lo pusimos de este lado tomamos el polinomio igual a efe de cero y eso nos da una línea horizontal altura efe 0 bueno estoy aquí parece que aún no está suficientemente padre pongamos más restricciones además de pedir que perecederos y agua les cede 0 vamos a pedir también que pepe es que el pp prima de cero también sea igual a efe prima de cero es decir no voy a poner con otro color a ver también queremos que estoy aquí no es un nuevo color ahora si queremos que el pp prima de cero es decir la primera derivada de nuestro polinomio cuando evaluamos en cero sea igual a efe prima de cero va entonces no queremos perder esta condición de aquí arriba simplemente estamos añadiendo algo más déjame proponer que de x igual a efe de cero es decir tomamos el px anterior pero ahora vamos a añadir un nuevo sumando vamos a ponerle más efe prima de 0 x x vamos a ver qué sucede con este polinomio a ver si usamos px como nuestro nuevo polinomio que sucede quienes pd 0 haber pd cero es igual a igual a efe de cero y luego vamos a sumar efe prima de 0 x x pero cuando aquí vale cero entonces nos va a quedar 0 verdad si ponemos es igual a cero se cancela entonces simplemente nos queda puede ser igual a efe de cero y eso está súper padre palomita eso es lo que queremos ahora vamos a la derivada a la deriva de px es prima de x y es igual a haber derivamos esto aquí hay una constante en su deriva de cero y de este lado tenemos efe prima de cero por x es simplemente nos queda el coeficiente ósea efe prima de cero ahora evaluaremos en x igual a cero entonces vamos a ponerle pp prima de cero y entonces eso de ahí es igual a la deriva del polinomio evaluado en cero está un poquito raro verdad porque tenemos pues un p prima y un f prima y así pero siempre tenemos muy claro quién es la variable va a estar fácil aquí está muy fácil verdad que prima es simplemente efe prima de cero está derivada es constante pues aquí tenemos un número este número viene desde el principio verdad que cuando asumimos que fue tenía derivada y que la podríamos evaluar en cero esto nos da acá abajo una constante de este modo si prima de que siempre se prima de cero entonces claramente prime valuada en cero también va a ser igual a efe prima de cero pero lo que está padre de éste nuevo polinomio este de aquí que acabamos de inventarnos con un término constante y un término lineal lo que está padre de ese polinomio es que ahora coincide con efe en x igual a cero verdad aquí pero no sólo eso sino que también tiene la primera derivada igual para x igual a cero es decir también tiene la misma pendiente entonces bueno vamos a hacer un dibujo entonces el dibujo nuevo se vería pues más o menos así es decir es una línea que tiene la misma pendiente que efe en x igual a cero y además pasa por el punto cero coma efe de cero eso está muy bien vamos avanzando le pero de todas formas pues no está como que súper padre esta aproximación aquí todavía tenemos simplemente una línea pero la f todavía está un poco curva vamos a mejorar nuestra aproximación con la segunda derivada para lograr que tengan la misma segunda derivada pero conservando que tengan la misma primera derivada y el mismo valor en cero vamos a tener que hacer algo un poco más interesante déjame proponer una función más voy a ponerle por aquí pd déjame dejar primero antes claro que este fue nuestro primer intento que este equipo de nuestro segundo intento y ahorita vamos a pasar al tercer intento en este tercer intento el objetivo es que el polinomio coincida con efe en cero además que su primer derivada coincida con la defensa cero y además que su segunda derivada también coincida con la defensa pero entonces voy a ponerle px iguala y lo primero va a ser copiar es lo del término anterior entonces le voy a poner igual la fcc 0 + efe prima de cero por x es decir esto de aquí y luego voy a sumar un tercer término que voy a poner en verde más más y aquí voy a poner un medio que espero que luego se explique por qué lo estoy haciendo entonces más un medio de fbi prima es decir la segunda derivada de la función evaluar en 0 x x cuadrada cuando evaluamos la segunda derivada nos explicaremos por qué aquí está este un medio pero vamos paso a paso vamos a empezar con p de cero a ver qué pasa con p de cero déjame ponerlo aquí abajo con césped de cero es igual a saber aquí tenemos un f60 sumado con algo por cero y con otra cosa también por 0 así esos dos sumando se cancelan y solamente nos queda efe 0 eso va muy bien ahora vamos con la derivada de pd x la voy a escribir aquí a la derecha en amarillo entonces pp prima de x es igual a haber esta constante f0 tiene derivada 0 y por tanto nos queda efe prima de 0 x 1 y luego hay que sumar aquí es de 2 baja porque estamos derivando en x al cuadrado 2 por un medio es un 1 entonces nos queda más efe doble prima de 0 x x decir el 2 lo multiplicamos y bajamos el exponente en uno va entonces creo que esto explica un poquito porque pusimos el 2 lo que hace es compensar el hecho de que la derivada nos va a bajar un 2 y va a multiplicar por ahí ciertas cositas verdad cuánto vale prima de cero a ver pp prima de cero es igual a saber aquí tenemos esto que sea cero y nos queda simplemente efe prima de cero entonces es igual a efe prima de cero hasta ahí vamos muy bien hasta ahorita nuestro polinomio de tercera generación tiene todas las propiedades de los primeros dos vamos a ver qué pasa con la tercera derivada pero perdonó con la segunda derivada es decir prima de golpe doble prima de x haber es la derivada de esta constante que 0 y luego la derivada de este término lineal que ese doble prima de cero va esa idea y es la segunda derivada ahora cuál es la segunda derivada evaluado en cero pues misma idea del argumento de antes simplemente es la constante efe prima de cero bach eso está muy padre verdad al agregar este término no sólo logramos que puede cero fuera igual a efe de cero y además que prima de cero fuera igual a efe prima de cero sino que también logramos que doble primer cero sea igual a ese doble primero es decir ya coincide el valor y las primeras dos derivadas aquí aparece como que pues nos va a aproximar muy bien a efe verdad y más aún para decir que tenemos un patrón parece ser que podemos ir aumentando términos para que cada vez nos aproximamos más y más a las derivadas que nosotros queremos decir a las derivadas de la función original vamos a hacerlo en general si quisiéramos seguir haciendo esto y tuviéramos mucho tiempo entonces tendríamos que hacer lo siguiente tendríamos a ver lo voy a poner con otro color más me voy a poner con este rojo entonces pd x la podemos proponer cómo sigue lo primero es fcc 0 el primer sumando de siempre no hay que poner un f prima de 0 x x luego ya vimos que hay que sumar un f doble prima evaluado en 0 x un medio de x al cuadrado simplemente reescribí esto un poquito diferente y luego hay que sumar pues a ver vamos a la tercera tenemos que poner ese triple prima evaluada en cero y luego hay que multiplicar por él un medio que teníamos antes y luego un tercio que vamos a necesitar 1 / 2 x 3 x x al cubo haber sigamos esto se está poniendo interesante a lo mejor podemos descubrir un patrón más entonces si quisiéramos que las cuerdas derivadas coincidieran tendríamos que sumar efe prima prima prima prima aquí convendría poner un 4 pero lo voy a dejar así mientras evaluada en 0 x a ver esto anterior lo voy a poner pero en orden contrario voy a poner un 4 4 por 3 por 2 y eso de ahí x x a la aumentamos 1x a la cuarta pueden verificarlo por tu cuenta y derivas este polinomio cuatro veces y evaluasen 0 te aseguro que vas a obtener la cuarta derivada de efe evaluada en cero esto podríamos seguir lo que quisiéramos continuar podríamos sumar y sumar términos y el enésimo término se vería como la enésima derivada de efe evaluada en cero multiplicada por ekiza la n dividida entre en el factor yal fíjate que eso es lo mismo verdad que tenemos un 4 por 3 x 2 que es 4 factorial bueno nos falta un 1 4 por 3 x 2 por 1 pero el uno no tenemos porqué escribirlo aquí tenemos un 3 factorial verdad tienen son dos por tres pero es lo mismo que tres por dos por por uno otra vez el uno no hay que ponerlo aquí tenemos un 2 a victoria al dos por uno aquí abajo tenemos bueno nada pero es lo mismo que poner uno factorial porque eso es un 1 y aquí tenemos está dividido entre 0 factorial que también es igual a uno recuerda por definición cuando seguimos esta serie sumando y sumando términos hasta tener una infinidad se dice que hemos encontrado la serie de mag loring df serie de mag loring este es un resultado de aproximación bien poderoso después vamos a ver algunos resultados muy padres que salen a partir de esto en la gráfica lo que está pasando es lo siguiente en el primer paso tenemos una línea horizontal en el segundo paso coincide la función en efe de cero y además coincide la derivada entonces también tenemos una recta pero ahora esa recta tiene la misma pendiente que efe en cero cuando agregamos un segundo grado entonces tenemos una parábola y ésta se va aproximando a s para el tercer grado se ve más o menos así para cuarto grado se empieza a pegar cada vez más a efe y conforme sumamos más y más términos la gráfica se empieza a aparecer más y más a la de efe sobre todo cerca de xy igual a cero en teoría si sumamos una infinidad de estos términos y claro digo en teoría porque pues todavía no lo ha demostrado pero en teoría si sumáramos una infinidad de estos términos entonces todas las derivadas coincidirían y acabaría pasando que las gráficas de ambas funciones se verían igualitas en el siguiente vídeo voy a hacer esto pero con algunas funciones muy concisas pues para fijar ideas como comentario final la serie de más gloria inés el caso particular de cuándo centramos en 0 la serie de taylor en la serie de terror podemos centrar la aproximación donde queramos pero vamos con calma nos enfocaremos en mac lori
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