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Transcripción del video

digamos que tengo una función fd x y permítanme graficar una f de x arbitaria digamos que este es mi eje de las 10 este es mi eje de las x aja y que puede que fx luzca algo así y lo que busco es aproximarme a efe de x con un polinomio de taylor centrado en x igual a digamos este es el eje las x es el eje de la aie lo que quiero es que el polinomio de taylor centrado en a se aproxima la función y ustedes han visto cómo funciona esta verdad del polinomio de taylor se hace para que todas las derivadas hasta cierto 2 hasta cierto grado sean iguales al de nuestra función original verdad esto por supuesto evaluado en a así que el polinomio evaluado en a también debe ser él el igual a la función evaluar en así que nuestro polinomio digamos que lo llamamos pd x ya veces a lo mejor le pondrán un subíndice en verdad que indica que la aproximación de qué grado estamos en qué grado estamos aproximando también le podemos poner una que significa el punto en donde está centrado ok lo escribo de esta forma se trata de un polinomio enésimo grado centrado en a y que lucirá más o menos algo así fd a más efe prima evaluada en a por x menos a por x menos a más efe mi prima evaluada en a por x menos a al cuadrado entre dos factorías o 22 factorial y 2 es lo mismo de hecho aquí podríamos poner uno factorial verdad y el siguiente terminó va a ser la tercera derivada de evaluada en a x x menos a al cubo entre tres factorías de ustedes creo que ya saben a dónde va esta verdad así que si no seguimos hasta el enésimo término que será la enésima deriva df evaluada en a por x menos a a la n entre en el factor yal muy bien y s binomio es el polinomio centrado en el polinomio de taylor de enésimo grado y es sin duda efe cda es igual app el polinomio evaluado en la verdad y puedes comprobarlo ya que todos los demás tienen un x menos a verdad que si lo avala evaluamos en aceh cancela así que la idea es igual a esa idea más o menos el polinomio luce como algo así ver así digamos digamos déjenme ver si me sale espero sea más o menos preciso lo haré lo mejor posible ok más o menos y lo que quiero hacer en este vídeo después de todo este repaso es que si yo tengo una aproximación polino me al de esta función mientras más términos tenga es decir mientras más alto sea el grado del polinomio mejor ajusta la curva fuera de a pero lo que quiero hacer realmente es que piensen qué tan bueno es este ajuste a medida que nos vamos alejando del punto a así que voy a definir una función llamada residuo o a veces también en los libros se le llama la función error y bueno sólo para que seamos consistentes con con toda la anotación de varios libros lo voy a algunas personas lo llaman el aire' el residuo y de orden en esa entrada en a b x gay o quizás también novelas como la función error pero yo prefiero evitarlo porque esto parece como el valor esperado de la probabilidad así que quizás algunas veces le hace esto pero bueno también llevará su subíndices en ella verdad así que esto lo definimos simplemente como la función dada por la diferencia de nuestra fx con el polinomio ok entonces esto realmente va a ser de gm cambiar de colores fx - p de x donde pd x es nuestro polinomio de grado n centrado en a así que por ejemplo si alguien fuera a preguntarte qué te pregunté que cómo cómo visualiza sexto en real de lo que están hablando es bueno si tú evalúa este error o este residuo en b en realidad a que si a que es igual o como cómo puedes pensar esto bueno si ve anda por acá en realidad lo que te está preguntando es esta diferencia es decir este tamaño lo que nos están preguntando es cuánto mide este error esta distancia de aquí ok por supuesto la distancia en ha debido a que la función vale lo mismo en a que en el polinomio pues la distancia es cero así que déjame escribirlo aquí mismo porque es una propiedad bastante interesante que nos va a ayudar a acotar eventualmente el error así que el error evaluado en a ya no voy a poner los subíndices a lo largo del vídeo ya estamos pensando que el polinomio de grado n que estamos centrando buena así que el error en a va a ser igual a efe cda - pda donde otra vez ya no le voy a poner subíndice en ella y estamos suponiendo todo es que es un polinomio de grado n y está centrado en a así que como estas dos son iguales esto va a ser igual a cero y ya veremos aquí que justamente coincide la curva en ese punto verdad ahora pensemos en la deriva de la función error evaluada en a esto simplemente será la derivada de efe evalúa de na - la deriva del pp también ha evaluado en a también evaluaron a ahora como dijimos que él el orden era mayor que uno entonces sabemos que las derivadas coinciden son iguales en así que de hecho puede derivar todo lo demás evaluamos en ahí se cancelan los términos que que le queden algún x - ah verdad así que cuando evalúa estas derivadas de tu polinomio na simplemente nos va a quedar efe prima de a verdad lo cual tiene bastante sentido por ser una buena aproximación así que si derivamos efe cda se cancela después aquí sólo nos queda efe prima de a y en los siguientes términos pues tendremos algo el estilo x menos a alguna potencia así que cuando evaluamos en a todos esos términos desaparecen el primero ya desaparece al derivar y por lo tanto sólo nos queda efe prima de a ok entonces ya hemos visto eso antes de escribirlo porque de esta forma de prima de a es igual a efe prima de a muy bien entonces él cuando evaluamos el error o la deriva del error en a simplemente nos queda a cero por por esta propiedad general aquí esto esto es cierto para todas n hasta el término enésimo verdad ya habíamos visto esto que queda es igual a de fedea pepri madea es igual a efe prima dea y de hecho esta propiedad se sigue hasta la enésima derivada evaluada en a que la enésima deriva de pepe evalúa de nada es igual a la enésima deriva df evaluada en a muy bien entonces ahora vamos a ver qué pasa con la función error la enésima deriva de la función error evaluada en a pues simplemente va a ser la enésima deriva df evaluada en a menos la enésima deriva de pepe evaluada y como son iguales como ya habíamos visto que son iguales entonces éste esto va a ser igual a cero esta es una propiedad bastante interesante pero también va a ser útil cuando tratemos de acotar este esta función error y ese es el punto central de por qué estoy haciendo todo esto y que lo veremos probablemente en el próximo video vamos a tratar de tener una estimación de que tan buena es la aproximación cuando cuando tenemos esta aproximación polinomiales ahora vamos a ver qué pasa cuando tomamos una derivada mayor digamos que tomamos la n más une sima derivada de la función erró y y de hecho si queremos ver la enésima enemas undécima deriva de e simplemente vamos a evaluarlo en algo punto bueno esto va a ser igual a la n más un estima deriva de efe evalúa de na - la n más un estima deriva del pp también upf perdón había dicho que en x verdad entonces ponemos en x no estamos evaluando ahorita nada sino en x ok entonces dejé de esto sale de la expresión que subrayé entonces la n más un enzima deriva de la animación encima deriva df - la n más un enzima deriva de p evaluada en x ahorita le puse los subíndices pero bueno en adelante quizás no lo haga así que quienes la n más un enzima deriva de p si es un polinomio de grado n ok por ejemplo piensa que tienes la segunda derivada de llegó a la x que es un polinomio de primer grado y estamos tomando la segunda derivada obtendremos que es cero verdad si por ejemplo tienes llegó a la x cuadrada es un polinomio de grado dos y si tomamos la tercera derivada entonces vamos a tener que es cero en general si tienes la n más un enzima deriva de un polinomio de grado n puedes tú mismo probar que en realidad te va a dar cero y espero haga un poquito de sentido para ti esto entonces esto que es la n más un enzima deriva del polinomio de grado n pues simplemente va a ser cero así que la n más un enzima derivada de nuestra función error evaluada en cualquier punto equis simplemente será la n más un enzima derivada de efe evaluada en ese punto y vamos a continuar en el próximo video tratando de ver cómo cómo podemos acotar esto sí podemos acotar esta expresión de la del error digamos sí supone que somos capaces de acotar esta magnitud es decir si podemos encontrar un valor m para el cual sea más grande que el valor absoluto del hierro de la enésima deriva del hierro y podamos hacer un poquito de cálculo para poder integrarlo integral unas varias veces y ver si podemos regresar a la función original no sabemos bien cómo encontrar esta cota pero bueno eso lo haremos en el próximo video
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