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Ejemplo resuelto: estimar eˣ por medio de la cota de Lagrange para el error

Transcripción del video

al estimar e a la 1.45 usando un polinomio de taylor centrado en x igualado cuál es el menor grado del polinomio que asegura un error menor a 0.001 en general cuando nos encontramos en una situación como ésta donde estamos aproximando a una función con un polinomio de taylor centrado en algún valor y queremos saber cuántos términos del polinomio necesitamos qué grado necesitamos que tenga este polinomio de taylor para acotar al error y esa es una pista muy fuerte de que vamos a usar la cota del error de lagrange o sea el teorema del residuo de taylor y ahora sólo como recordatorio aquí tenemos el teorema del residuo de taylor que nos dice que el valor absoluto del residuo del polinomio de taylor de grado n es menor o igual que esta expresión donde en esta expresión n es el grado del polinomio x es el valor donde estamos calculando el residuo en este caso es 1.45 y se es en donde está centrado el polinomio de taylor pero está en medias y que es bueno pues m es una cota superior del valor absoluto de la derivada n más uno de la función que estamos tratando de estima y esto puede sonar un poco complicado pero a lo largo de este ejercicio cada una de estas partes va a quedar un poco más claras en este ejercicio en particular estamos tratando de estimar a la 1.45 en este ejercicio en particular estamos tratando de estimar a la x así es que vamos a escribirlo por aquí ese de x es a la x esta es la función que estamos tratando de estimar y la queremos estimar en 1.45 y vamos a empezar encontrando esta cota superior entonces queremos la n más undécima derivada de fd x pero recordemos que las derivadas de alá x son iguales la función la primera derivada de a la x es a la x la segunda derivada también es igual a a la x y así nos seguimos la enésima derivada también es a la x y la derivada n más uno en x también es igual a a la x lo cual es bastante conveniente porque estos problemas se vuelven muy difíciles cuando no es sencillo acotar la derivada en más uno de la función ahora nosotros sabemos que a la x que bueno por cierto es igual a su valor absoluto porque a la x de una función positiva bueno pues sabemos que su valor absoluto es menor o igual que a la 2 para los valores de x para los valores de x que se encuentren entre 0 y 2 la función a la x no está acotada para todos los valores que puede tomar x para todo el dominio de esta función conforme x se va así infinito a la x también se va hacia el infinito entonces no lo podemos acotar para todos sus posibles valores pero sí podemos encontrar un intervalo en el que esta función está acotada que contenga a todos los valores de x que nos interesan o sea el valor que nos interesa es 1.45 en este caso y también necesitamos que contenga al valor en el que está centrado nuestro polinomio de taylor que en este ejemplo el 2 así es que ya sabemos que en este intervalo la función a la x está acotada por al cuadrado por lo que podemos usar al cuadrado como ésta md aquí podemos usar al cuadrado como heme aquí logramos encontrar una cota para la derivada n más uno de la función y listo ya con esto ya podemos ver la cota de leer orde lagrange podemos decir que el valor absoluto del residuo del polinomio de taylor de grado n que por cierto nosotros queremos encontrar cuál es la n que necesitamos cuál es la n que nos asegura que estamos acortando suficiente al error pero a ver aquí tenemos el residuo del polinomio dt lo degradó n evaluado en 1.45 1.45 y esto va a ser menor o igual que el valor absoluto de m pero nuestra m es al cuadrado al cuadrado / n +1 factorial por 1.45 que es el valor de x que nos importa es dónde estamos tratando de calcular el error - el valor donde se centra nuestro polinomio de taylor o sea 22 elevado a la potencia n +1 ahora 1.45 -2 esto es menos 0.55 pero de una vez a escribirlo por acá - 0.55 y lo que queremos saber es para qué valor de n esta expresión es menor que 0.001 bueno y aquí tenemos que ser un poquito de manipulación algebraica aquí estamos tomando el valor absoluto de este valor por aquí está parte al cuadrado es positivo además una factoriales positivo y menos 0.55 elevado al aire más uno dependiendo del valor de l puede ser positivo o negativo pero como estamos sacando el valor absoluto lo que nos queda es esto nos queda al cuadrado por 0.55 elevado a la enésima su no entre n +1 factorial lo que estamos buscando es con qué valor de n esta expresión es menor que 0.001 pero bueno podemos simplificar esto un poco más porque estamos buscando los valores de n entonces podemos dividir entre al cuadrado y lo que nos queda es 0.55 elevado a la potencia enemas 1 / n +1 factorial menor que 0.001 en tres al cuadrado ahora para jugar con esto vamos a necesitar una calculadora ahora lo que vamos a hacer es probar con es cada vez más grandes hasta que encontremos una n que cumpla esta desigualdad y por cierto queremos encontrar la n más pequeña que hace que esta desigualdad sea cierta entonces sacamos la calculadora queremos calcular esta expresión 0.001 entre y entre paréntesis queremos poner al lado es igual a esto que tenemos acá así es que este número si lo redondeamos nos queda 0.000 136 0.000 136 ok lo que estamos buscando es una n que haga que esto sea menor que este número aunque bueno como ésta es una cota es mejor no redondear es mejor truncar y nos queda a 135 esta expresión es un poquito más grande que está así es que si encuentro una n que haga que esta expresión sea menor que 0.00 135 ya terminamos porque esto es menor que esto simplificamos esto a buscar una n que cumpla que 0.55 elevado a esa enemas 1 / n +1 factorial sea menor que este número bueno empezamos a probar con algunas se les vamos otra vez por la calculadora veamos a cuánto es igual esta expresión cuando en es igual a 2 podríamos empezar con en iguala 1 en igual a tres en igual a 5 pero sí en e igualados es suficiente para que sea menor a este número entonces les voy a probar qué pasa si n es igual a 1 ahora tiene igualados no es suficiente entonces voy a probar con en iguala tres ong igual a 4 entonces empecemos con bueno no me colé empecemos con él e igual a tres si en es igual a tres aquí en esta expresión tenemos 0.55 elevado a la 4 entre 4 factorial entonces tenemos 0.55 elevado a la 4 eso es igual a este número y lo queremos dividir entre 4 factorial que nos queda este número pero no es suficientemente pequeño para ser menor que este otro número que porque tenemos 20 y un 320 si aquí tenemos otro 0 así es que vamos a probar qué pasa si ahora n es igual a 4 si en es igual a 4 va a ser esto elevado a la 5 entre 5 factorial entonces tenemos 0.55 elevado a las cinco y eso lo queremos dividir entre 5 factorial y nos queda en total y ya casi llegamos porque aquí punto 00 04 sigue siendo mayor que punto 0-0 0-1 así es que yo me imagino que con n igual a 5 va a ser suficiente vamos a verlo si en es igual a 5 aquí estamos elevando a las seis y viviendo en 36 factorial por lo que nos queda 0.55 elevado a las 6 entre 6 actoral y eso es igual a este número y este número definitivamente sí es más chico que éste tenemos 0.40 y luego 384 este número es menor que se da acá entonces cuando en es igual a 5 el residuo que obtenemos con un polinomio de taylor de grado 5 es menor que este número que a su vez es menor que el número especificado por este ejercicio así es que cuales el menor grado del polinomio que asegura que el error sea menor a una milésima bueno pues la respuesta es 5 tiene es igual a 5 el residuo definitivamente es menor a una milésima
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