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Ejemplo resuelto: estimar sin(0.4) por medio de la cota de Lagrange para el error

Transcripción del video

estimando seno de 0.4 usando un polinomio de mac lorin cuál es el legado más pequeño del polinomio que nos asegura que el error es menor a una milésima entonces qué es lo que estamos diciendo por acá bueno pues podríamos tener una función sd x y proxy marla con un polinomio de maclaurin de grado n de una forma más general también podríamos aproximarlo con un polinomio de taylor ahora en este ejercicio este es un polinomio demás loring sin embargo esta aproximación no va a ser perfecta vamos a tener un residuo el residuo de la aproximación del polinomio de grado n y por supuesto este residuo depende de en qué quisiste hemos evaluado a la función ahora si queremos utilizar la información específica de este ejercicio fx es seno de x porque ya que tenemos la función no la queremos aproximar cuando x es igual a 0.4 y esto va a ser igual al polinomio de mac loring de grado n evaluado en 0.4 más el residuo de ese polinomio de grado n también evaluado en 0.4 lo que realmente queremos hacer en este ejercicio es averiguar cuál n es la más chica que nos asegura que este residuo sea menor a una milésima nosotros queremos saber cuál es la n más pequeña cuál es la n más pequeña con la que con la que el residuo de nuestro polinomio legado n evaluado en 0.4 es menor que une milésima o sea 0.001 y ésta es simplemente otra forma de reescribir este problema pero para resolver lo podemos utilizar la cota del error de la gran chance que también es conocido como el teorema del residuo de taylor hemos demostrado este teorema en algún otro leo pero lo vamos a volver a escribir por acá tal vez lo va a quedar tan claro al principio pero todo va a quedar más claro conforme resolvamos este ejercicio el teorema del residuo de taylor o sea la cota del residuo de lagrange nos dice que si la derivada en lemas uno de nuestra función está acotada por m si la derivada en más 1 de nuestra función y su valor absoluto es menor o igual que alguna constante m para todos los valores de x en algún intervalo abierto en algún intervalo abierto que contenga el centro de nuestro polinomio de taylor que como éste es un polinomio demás glory es el centro es cero y a la x que nos interesa que en este caso de 0.4 pero aquí le vamos a poner y a x entonces si esto es cierto si la derivada en el más uno de la función que se está acotada o sea si su valor absoluto es menor o igual que me en algún intervalo abierto que contenga a cero que si estamos hablando del caso general esto s í a la x que nos interesa lo que nos dice el teorema del residuo de taylor también conocido como la cota del error de lagrange nos dice que si esto es cierto entonces el residuo del polinomio de grado n está acotado y es menor o igual que esta cota que me por equis elevada a la enésima su mundo / n +1 factorial tomando su valor absoluto esta es la cota del error de lagrange pero cómo lo vamos a aplicar para resolver este problema bueno pues podemos empezar por pensar en la derivada en más 1 de nuestra función así es que pensemos si podemos acotar la bueno pues la derivada de sendo escocés no pero luego la derivada de ccoo c no es menos seno y así nos seguimos entonces todas estas derivadas van a hacer o seno o coseno pero la vez caja que tenemos aquí es que tanto el seno como el coce no están acotados por uno así es que no importa cuántas veces debemos hacerlo su enésima derivadas siempre va a ser menor o igual que uno así es que para esta función en particular para esta s de x que en realidad es el seno de eki el valor absoluto de la derivada en más 1 de esa s de x siempre va a ser menor o igual que uno pero esto es cierto sólo porque ese dx es seno de x y por cierto esto es cierto para cualquier valor de x no sólo en algún intervalo entonces este es nuestro valor de m el seno y todas sus derivadas están acotadas por uno así es que ya tenemos la m la cota por lo que ya podemos utilizar la cota del error de lagrange que nos dice que el error del polinomio de grado n evaluado en 0.4 aquí nosotros sabemos que la x en la que nosotros queremos acotar al error es 0.4 no necesitamos minimizar la n para un x en general sino para el valor que nos interesa el valor absoluto del residuo del polinomio n en 0.4 es menor o igual que m pero m en este caso es uno por lo cual ni siquiera lo tengo que escribir y luego por x que es 0.4 elevado a la potencia en el +1 a la n más uno y luego dividimos entre enemas 1 factorial ley y ésta es la cota del error de lagrange si logramos encontrar alguna forma de que esta cota sea menor a 0.001 entonces sabremos acotado nuestro error a menos de una milésima pero ahora como encontramos una n que haga que esta cota sea menor a una milésima y cómo vamos a encontrar esa n bueno pues podemos probar con algunas cen e ir aumentando el tamaño de n hasta que encontremos alguna n que haga que estos y se cumpla y es justo lo que vamos a hacer y vamos a hacerlo en forma de tabla aquí vamos a ponerlas n y por acá vamos a poner la cota que es 0.4 elevado a la en más 1 entre el +1 factorial bueno podemos empezar con n igual a 1 cuando en es igual a 1 aquí tenemos 0.4 al cuadrado entre dos factoría al lo cual es igual a 0.16 entre dos lo cual es igual a 0.08 que definitivamente no es más pequeño que una milésima entonces vamos con la siguiente n n igualado cuando en es igual a dos tenemos 0.4 al cubo entre 3 factoría al lo cual es igual a 0.0 64 aunque lo escribí demasiado rápido pero estamos viviendo entre 3 factoría al que es 6 ahora si lo analizamos con cuidado esta división se parece mucho a 0.01 que definitivamente no es menor que una milésima por lo que tenemos que irnos de la siguiente m n igual a tres y nos queda 0.4 elevado al aire más uno que es 4 entre 4 factorial que es igual 0.02 156 entre 24 y haciendo las cuentas de esta división esto es un poquito más grande que 0.001 un poquito más grande por lo que yo presiento que la siguiente en me iba a hacer que la cota sea menor que una milésima a ver veamos tenemos 0.4 elevado a la 5 entre 5 factorial y esto es igual a 0.0 1.024 entre 5 factorial que es 120 y ahora sí si hacemos esta división podemos ver que esto sí es menor que 0.001 esto definitivamente es menor que una milésima así es que podemos concluir que para el polinomio de grado 4 el residuo evaluado en la x que nos interesa que es 0.4 si es menor o igual que una milésima y listo ya resolvimos este ejercicio 4 es el grado más pequeño del polinomio de mac loring que nos asegura que el error sea menor que una milésima
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