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Contenido principal
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Transcripción del video

en el video pasado comenzamos a explorar la noción de una función de error recordemos que no hay que confundirla con la esperanza en prueba pues usan la misma anotación aquí es de error pero a veces también se usa rd residuo como la definimos simplemente nos da la diferencia entre la función efe y la aproximación de efe por ejemplo aquí en el dibujo tenemos marcado el error para cuando x es igual a b es e debe en realidad sólo nos importa el valor absoluto de edebé de japón en la que un valor absoluto pues a veces es más grande que el polinomio y a veces el polinomio le gana s lo único que nos importa es la distancia entre ambos valores lo que quiero hacer en este vídeo es intentar acotar el valor absoluto de hebe es decir me gustaría poder decir que eso es menor o igual a cierta acá donde acá es una constante que pesa la mujer tenga que ver con b bueno eso es para de mayor que vamos a suponer todo el tiempo que ve es mayor que a ahora fíjate aquí ya habíamos obtenido un resultado que estaba padre obtuvimos que la n más undécima derivada de la función de error era igual a la n más undécima derivada de nuestra función entonces también van a ser iguales en valor absoluto de modo que si pudiéramos de alguna forma acotarla enemas undécima derivada de nuestra función o bueno al menos en un intervalo que tenga ave entonces también vamos a poder acotar la n más una enzima derivada de la función de error y quizás con un poco de integración y algunos trucos algebraicos vamos a poder acotar el error mismo vale entonces vamos a ver si podemos hacer eso lo que vamos a suponer es que de a de veras vamos a poder acotar la n más un enzima derivada de efe es decir supongamos que existe un cierto valor m déjame ponerlo con otro color vamos a ponerlo en blanco vamos a suponer que estã n más undécima derivada se ve pues más o menos así estoy aquí es fn +1 la imagen encima derivada en x y lo único que me importa es lo que pasa dentro del intervalo a cómo ve afuera no me importa sólo quiero saber que aquí adentro está acotada bueno entonces supongamos que el valor absoluto de la enim acciones la derivada está agotada es decir por hipótesis sabemos que aquí lo escribo sabemos que el valor absoluto de la n más une sima derivada aquí ya lo puse en mayúscula verdad sin bueno espero que ese cambio no no haber déjame borrarle mejor me voy a poner con ello en minúscula enemas una enzima derivada imaginamos que sabemos que está evaluada en x en valor absoluto está acotado por una m recuerda estoy aquí es una hipótesis que estamos tomando y pues nada más va a ser en el intervalo en el intervalo de aa a b sale entonces en el intervalo a ver déjame escribirlo de esta forma en x pertenece a coma ve el intervalo cerrado incluye a y b es decir x puede ser a o b o puede ser cualquier valor en medio de ellos dos puede parecer un poco artificial esta condición pero algo un poco más natural es que para existir este máximo esté aquí va a ser un máximo verdad entonces máximo podemos garantizar que existe este máximo chillã n más undécima derivada es continua entonces en vez de suponer esta hipótesis tan rara vamos a suponer que en este intervalo la n más undécima derivada es continua vale entonces esta expresión es lo mismo que esta otra expresión en lo que demostramos en el vídeo anterior vamos a usar eso vamos a ponerle que esto implica esto implica que a ver vamos a ponerlo con la función error que el error este es otro color vamos a regresar al anterior ahora sí vamos a ponerle que el error bueno en la n más un enzima derivada del error evaluada en x en valor absoluto es menor o igual que m bueno esto está más o menos interesante y se parece un poco a lo que queremos pero todavía no es igual puede parecer similar pero aquí tenemos una derivada y allá queremos el error después vamos a tener que pensar de dónde sale esta m espero que con algunos ejemplos se aclare pero insisto aquí tenemos la n más undécima derivada del error que está acotada pero queremos acotar el error el error por sí mismo podemos pensar aecom la derivada 0a entonces lo que vamos a intentar hacer es integrar ambos lados de la desigualdad para ver qué obtenemos a ver si llegamos a lo que queremos entonces deja de poner por acá una integral de x y aquí otra integral de x y vamos a ver qué sucede el lado izquierdo es bastante interesante vamos a empezar con eso tenemos la integral de un valor absoluto sería más fácil si tuviéramos el valor absoluto de una integral y afortunadamente la desigualdad nos va a salir muy bien dejaba escribir aquí un pequeño paréntesis vamos a tomar la integral de salud tanto vamos a tomar la integral de fd xd x y vamos a tomar la integral de la integral de fx de giza sabella se ven igual pero aquí voy a poner el valor absoluto adentro y del otro lado voy a poner el valor absoluto afuera entonces cuál de estas dos integrales es más grande o más bien cuál de éstas podría ser más grande vamos a pensar en distintos escenarios y fx siempre es positiva en el intervalo que nos interesa entonces como una suma de positivos como valor absoluto es positivo y todo queda positivo da lo mismo el caso interesante es cuando empieza a haber algunos valores negativos entonces déjame dibujar un plano xl para que trabajemos un poquito con eso entonces aquí tenemos el eje x ahi lg che siempre siempre es negativa bueno siempre siempre es positiva entonces aquí tenemos ahora son más positivas y valores absolutos de positivos tenemos puros positivos que da lo mismo si efe siempre es negativa entonces qué vamos a obtener pues aquí tenemos una integral negativa y entonces cuando sacamos el valor absoluto se vuelve positiva y de este lado estamos integrando puros valores positivos entonces pensando en un poquito de todas formas va a quedar lo mismo la cosa interesante es cuando tenemos una mezcla de positivos y negativos algo de este estilo en este caso cuando fcb así entonces tenemos que pensar un poco más esta expresión va a ser integrar estas áreas pero fíjate estoy acá va a ser negativo entonces se cancelaría un poco de las áreas y al tomar el valor absoluto queda más cerca de cero pero qué sucede cuando tomamos la integral del valor absoluto la gráfica se ve así y entonces toda la ya va a ser positiva y no se cancela nada con nada entonces va toda el área expositiva entonces obtenemos una suma más grande y por tanto la integral de la derecha está de acá usualmente es más grande que la integral de la izquierda esto es especialmente cierto cuando éste toma valores positivos y negativos pues en la integral de la izquierda cuando primero integramos y luego sacamos el valor absoluto al principio se canceló un poco de las áreas porque tienen el signo que les corresponden y luego sacamos el valor absoluto de un número que tiene una magnitud menor vale entonces usualmente el lado izquierdo es decir el valor absoluto de la integral es menor o igual que la integral de los valores absolutos vamos a usar eso acá aquí tenemos la integral del valor absoluto entonces eso de ahí es mayor o igual que haber simplemente lo copiamos es mayor o igual que el valor absoluto de la integral entonces déjame ponerlo con otro color y vamos a escribir el valor absoluto de la integral de la n más une sima derivada evaluada en x de saleh la razón por la cual esto es útil es que de todas formas tenemos la desigualdad en el lado correcto pero además ahora podemos integrar esta expresión más fácilmente la anti derivada de la n más undécima derivada de es igual a la enésima derivada de entonces esta expresión vamos a ponerla como el valor absoluto de la enésima derivada de x de nuestra función de error todavía no he dicho esperanza por ningún lado verdad esto también me confunde a mí debe haberle puesto ere de residuo bueno sólo recordemos que no tiene nada que ver con probabilidad tengamos realmente estoy aquí es la enésima derivada de nuestra función de error que va a ser menor o igual que la integral de md x es decir menor o igual que saber m es una constante entonces nos queda mx pero como es una integral indefinida tenemos que acordarnos de sumar un ace cuando trabajamos con cotas la filosofía es que entre más chica sea una cuota superior entonces nos da más información de este modo nos gustaría minimizar el valor de la constante se somos afortunados porque tenemos información acerca de la enésima derivada vamos a ver a qué me refiero esta función aquí la enésima derivada sabemos cuál es su valor en el punto a verdad entonces vamos aquí arriba fíjate la enésima derivada a es igual a cero porque la enésima derivada de la función es igual a la enésima derivada del polinomio en a entonces si evaluamos a ambos lados de esta desigualdad en a voy a ponerlo aquí al ladito nos queda que el valor absoluto de la enésima derivada de la función de error evaluado en a es igual a el valor absoluto de cero que cero y eso de ahí es menor o igual que ésta conlleva la arena es decir menor o igual que m por a más se está viendo esta parte de la desigualdad y restando emea de ambos lados obtenemos que menos a es menor o igual que se eso de ahí nos da una cota para ese entonces dada esta condición que encontramos en el video pasado logramos ver qué se es mayor o igual que menos emea vale entonces si queremos minimizar la constante y queremos hacer que esta cuota sea muy buena queremos escoger se iguala - emea esta es la menor sé que podemos encontrar con las restricciones que tenemos sale entonces vamos a tomarse igual a menos se me ha visto entonces nuestra desigualdad la podemos describir cómo que el valor absoluto de la enésima derivada de la función de error evaluada en x la función de error en no la esperanza tengo un mal presentimiento con esto de la esperanza y así pero bueno sigamos el valor absoluto de la enésima derivada es menor o igual que m x x menos a recordamos las restricciones x debe de estar en el intervalo cerrado a coma b es decir x está entre a y b y puede ser ahora puede ser b ya hicimos un poco de progreso pasamos de la n más una décima a la enésima derivada vamos a ver si podemos seguir haciendo esto entonces misma idea en esta desigualdad vamos a integrar de ambos lados entonces pues nos quedaría algo de este estilo la integral aquí la integral ah y por el resultado que probamos acá en la esquina sabemos que algo todavía más pequeño que este término de la izquierda es el valor absoluto de la integral de la esperanza a no no sabía qué iba a pasar nos esperanza más bien de la función de error bueno la enésima derivada de la función de error evaluada en x dx otra vez la desigualdad se da con la misma lógica de acá arriba y estoy aquí es útil porque ahora está íntegra la podemos resolver fácilmente simplemente nos queda la n - un estima derivada de evaluada en x y por supuesto con sus valores absolutos y entonces eso es menor o igual que me da igual que esto me da igual que esto y hay que hacer esta integral cuál es la anti derivada de esta expresión pues es m x x menos ha elevado al cuadrado dividido entre dos lo hice muy rápido pero puedes usar sustitución o ver de lejos que esta expresión viene derivada 1 tratarla como una variable aumentar su exponente en 1 y dividir entre nuevo exponente como todavía son integral indefinida hay que poner más c otra vez nos gustaría poder acotar ese valor de fe vamos a usar exactamente la misma lógica que antes si evaluamos esta expresión en a otra vez vamos a obtener un cero vamos a ponerle a en los dos lados entonces a la izquierda cuando le ponemos un a los que da cero fíjate teníamos aquí la n - una enzima derivada entonces vamos a obtener que 0 aquí tenemos esto es menor o igual que el lado derecho si ponemos es igual a todo esto se cancela porque es x menos al cuadrado se va más ese entonces tenemos que se es mayor o igual que 0 entonces el menor valor que podemos darle hace es cero así vamos a tomar se es igual a cero sale lo voy a indicar tachando se y poniendo aquí 0 la idea clave aquí es que podemos seguir haciendo este procedimiento repetidamente es decir podemos integrar estos pasos así sucesivamente hasta que lleguemos a saber vamos a integrar integrar integrar y entonces podemos bajar todas las derivadas hasta la duodécima derivada es decir hasta la función de error aquí le voy a poner arriba exponente tantito un cero para que la pensamos como el acero encima derivada pero bueno lo que obtenemos es que esto está acotado es decir es menor o igual que la fórmula que da así primero va una m y luego la multiplicamos por x menos aa que exponente pues veamos que siempre que sumamos el exponente con el número de derivada que dañen más uno como estamos en la 0 estima derivada el exponente va a ser en más 1 finalmente tenemos que dividir entre y pues mira aquí abajo les voy a poner en más 1 factorial y de dónde sale este n +1 factorial si aquí arriba simplemente tenemos un 2 pero pensamos porque apareció este 2 cuando integremos este x men ozawa a subirse a tercera potencia y vamos a dividir entre tres entonces va a ser dos por tres cuando integramos una vez más se va a volver cuarta potencia y dividimos entre 4 y entonces en el denominador nos quedan cuatro por tres por dos por uno o sea 4 factorial en general hay que dividir entre factorial del exponente que tengamos pero lo interesante de todo esto es que si somos capaces de encontrar ese valor que acota la enésima derivada de nuestra función en el intervalo ave entonces tenemos una forma de acotar la función error en ese mismo intervalo entre a y b por ejemplo si supiéramos el valor de m entonces podríamos acotar el error en ver cómo sigue tendríamos que el valor absoluto del error en b es menor o igual que m por ve - ha elevado a la enésima su no / / n +1 factorial uf aquí sí que hay un montón de matemáticas finas esto nos da un resultado bien poderoso es hora de que lo pongamos en práctica viendo algunos ejemplos
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