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Contenido principal
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Transcripción del video

en el vídeo pasado comenzamos a explorar la noción de una función de error recordemos que no hay que confundirla con la esperanza en probar pues usan la misma anotación aquí es de error pero a veces también se usa ere de residuo como la definimos simplemente nos da la diferencia entre la función efe y la aproximación de f por ejemplo aquí en el dibujo tenemos marcado el error para cuando x es igual a b es el debe en realidad sólo nos importa el valor absoluto de ed dejaba ponerle aquí un valor absoluto pues a veces f es más grande que el polinomio y a veces el polinomio le gana a efe lo único que nos importa es la distancia entre ambos valores lo que quiero hacer en este vídeo es intentar acotar el valor absoluto de ed es decir me gustaría poder decir que eso es menor o igual a cierta acá donde acá es una constante que pues a lo mejor tenga que ver con b bueno eso es para b mayor que a vamos a suponer todo el tiempo que ve es mayor que a ahora fíjate aquí ya habíamos obtenido un resultado que estaba padre obtuvimos que la enésima derivada de la función de error era igual a la enésima derivada de nuestra función entonces también van a ser iguales en valor absoluto de modo que si pudiéramos de alguna forma acotar la enésima derivada de nuestra función o bueno al menos en un intervalo que tenga ave entonces también vamos a poder acotar la enésima derivada de la función de error y quizás con un poco de integración y algunos trucos algebraicos vamos a poder acotar el error mismo vale entonces vamos a ver si podemos hacer eso lo que vamos a suponer es que de adeveras vamos a poder acotar la n más undécima derivada de f es decir supongamos que existe un cierto valor m déjame ponerlo con otro color vamos a ponerlo en blanco vamos a suponer que esta n undécima derivada se ve pues más o menos así esto de aquí es f n más uno la n encima derivada en x y lo único que me importa es lo que pasa dentro del intervalo a coma afuera no me importa sólo quiero saber que aquí adentro está acotada bueno entonces supongamos que el valor absoluto de la enésima derivada está acotada es decir por hipótesis sabemos que aquí lo escribo sabemos que el valor absoluto de la enésima derivada aquí le puse en mayúscula verdad ching bueno espero que ese cambio no no no a ver déjame borrar lo mejor me voy a poner con n minúscula la n undécima derivada imaginemos que sabemos que está evaluada en x en valor absoluto está acotado por una m recuerda esto de aquí es una hipótesis que estamos tomando y pues nada más va a ser en el intervalo en el intervalo de a a b sale entonces el intervalo a ver déjame escribirlo de esta forma en x pertenece como el intervalo cerrado incluye a y b es decir x puede ser a v o puede ser cualquier valor en medio de ellos dos puede parecer un poco artificial esta condición pero algo un poco más natural es que va a existir este máximo estoy aquí va a ser un máximo verdad entonces máximo podemos garantizar que existe este máximo si la n más undécima derivada es continua entonces en vez de suponer esta hipótesis tan rara vamos a suponer que en este intervalo la enésima derivada es continua vale entonces esta expresión es lo mismo que esta otra expresión es lo que demostramos en el vídeo anterior vamos a usar eso vamos a ponerle que esto implica esto implica que a ver vamos a ponerlo con la función error que el error sin este es otro color vamos a regresar al anterior ahora sí vamos a ponerle que el error bueno y la enésima derivada del error evaluada en x en valor absoluto es menor o igual que bueno esto está más o menos interesante y se parece un poco a lo que queremos pero todavía no es igual puede parecer similar pero aquí tenemos una derivada y allá queremos el error después vamos a tener que pensar de dónde sale esta m espero que con algunos ejemplos se aclare pero insisto aquí tenemos la enésima derivada del error que está acotada pero queremos acotar el error o sea el error por sí mismo podemos pensar como la derivada 0a entonces lo que vamos a intentar hacer es integrar a ambos lados de la desigualdad para ver qué obtenemos a ver si llegamos a lo que queremos va entonces deja de poner por acá una integral de x y aquí otra integral de x y vamos a ver qué sucede el lado izquierdo es bastante interesante vamos a empezar con eso tenemos la integral de un valor absoluto sería más fácil si tuviéramos el valor absoluto de una integral y afortunadamente la desigualdad nos va a salir muy bien déjame escribir aquí un pequeño paréntesis vamos a tomar la integral empieza lo tanto vamos a tomar la integral de fx de x y vamos a tomar la integral no perdón la integral de fx de x a sabritas se ven igual pero aquí voy a poner el valor absoluto adentro y del otro lado voy a poner el valor absoluto afuera entonces cuál de estas dos integrales es más grande o más bien cuál de éstas podría ser más grande vamos a pensar en distintos escenarios y fx siempre es positiva en el intervalo que nos interesa entonces es como una suma de positivos con valor absoluto es positivo y todo que da positivo da lo mismo el caso interesante es cuando empieza a ver algunos valores negativos entonces déjame dibujar un plano x para que trabajemos un poquito con eso entonces aquí tenemos el eje x ahí el eje si f siempre es negativa bueno si f siempre es positiva entonces aquí tenemos puras sumas positivas y valores absolutos de positivos tenemos puros positivos que da lo mismo si f siempre es negativa entonces que vamos a obtener pues aquí tenemos una integral negativa y entonces cuando sacamos el valor absoluto se vuelve positiva y de este lado estamos integrando puros valores positivos entonces pensando en un poquito de todas formas va a quedar lo mismo la cosa interesante es cuando tenemos una mezcla de positivos y negativos algo de este estilo en este caso cuando fsb así entonces tenemos que pensarlo un poco más esta expresión va a ser integrar estas áreas pero fíjate esto de acá va a ser negativo entonces se cancelaría un poco de las áreas y al tomar el valor absoluto queda más cerca de 0 pero qué sucede cuando tomamos la integral del valor absoluto la gráfica se ve así y entonces toda el área va a ser positiva y no se cancela nada con nada entonces va todo el área es positiva entonces obtenemos una suma más grande y por tanto la integral de la derecha esta de acá usualmente es más grande que la integral de la izquierda esto es especialmente cierto cuando f toma valores positivos y negativos pues en la integral de la izquierda cuando primero integramos y luego sacamos el valor absoluto al principio se cancela un poco de las áreas porque tienen el signo que les corresponden y luego sacamos el valor absoluto de un número que tiene una magnitud menor vale entonces usualmente el lado izquierdo es decir el valor absoluto de la integral es pero igual que la integral de los valores absolutos vamos a usar eso acá aquí tenemos la integral del valor absoluto entonces eso de ahí es mayor o igual que a ver simplemente lo copiamos es mayor o igual que el valor absoluto de la integral entonces déjame ponerlo con otro color y vamos a escribir el valor absoluto de la integral de la enésima derivada evaluada en x de x sale la razón por la cual esto es útil es que de todas formas tenemos la desigualdad en el lado correcto pero además ahora podemos integrar esta expresión más fácilmente la anti derivada de la enésima derivada de e es igual a la enésima derivada de entonces esta expresión vamos a ponerla como el valor absoluto de la enésima derivada de x de nuestra función de error todavía no he dicho esperanza por ningún lado verdad esto también me confunde a mí debe haberle puesto ere de residuo bueno solo recordemos que no tiene nada que ver con probabilidad tengámoslo en mente esto de aquí es la enésima derivada de nuestra función de error que va a ser menor o igual que la integral de emt x es decir menor o igual que pues a ver m es una constante entonces nos queda mx pero como es una integral indefinida tenemos que acordarnos de sumar una c cuando trabajamos con cotas la filosofía es que entre más chica sea una cota superior entonces nos da más información de este modo nos gustaría minimizar el valor de esta constante c somos afortunados porque tenemos información acerca de la enésima derivada vamos a ver a qué me refiero esta función de aquí la enésima derivada sabemos cuál es su valor en el punto a verdad entonces vámonos aquí arriba fíjate la enésima derivada en a es igual a cero porque la enésima derivada de la función es igual a la enésima derivada del polinomio en a entonces si evaluamos a ambos lados de esta desigualdad en a voy a ponerlo aquí al ladito nos queda que el valor absoluto de la enésima derivada de la función de error evaluado en a es igual a el valor absoluto de 0 que es cero y eso de ahí es menor o igual que esta cosa eva lorena es decir menor o igual que m por a más c viendo esta parte de la desigualdad y restando emea de ambos lados obtenemos que menos a es menor o igual que sé eso de ahí nos da una cota para c entonces dada esta condición que encontramos en el vídeo pasado logramos ver que se es mayor o igual que menos m vale entonces si queremos minimizar la constante si queremos hacer que esta cota sea muy buena queremos escoger se iguala menos m esta es la menor sé que podemos encontrar con las restricciones que tenemos sale entonces vamos a tomar se igual a menos m y listo entonces nuestra desigualdad la podemos reescribir como que el valor absoluto de la enésima derivada de la función de error evaluada en x la función de error en o la esperanza tengo un mal presentimiento con esto de la esperanza y así pero bueno sigamos el valor absoluto de la enésima derivada es menor o igual que m por equis menos a recordamos las restricciones x debe de estar en el intervalo cerrado es decir x está entre a y b y puede ser no puede ser b ya hicimos un poco de progreso pasamos de la n más undécima a la enésima derivada vamos a ver si podemos seguir haciendo esto entonces misma idea en esta desigualdad vamos a integrar de ambos lados entonces pues nos quedaría algo de este estilo la integral aquí la integral acá y por el resultado que probamos acá en la esquina sabemos que algo todavía más pequeño que este término de la izquierda el valor absoluto de la integral de la esperanza a no no sabía qué iba a pasar no es esperanza más bien de la función de error bueno la enésima derivada de la función de error evaluada en x de x otra vez la desigualdad se da con la misma lógica de acá arriba y esto de aquí es útil porque ahora esta integral la podemos resolver fácilmente simplemente nos queda la n-1 cima derivada de evaluada en x y por supuesto con sus valores absolutos y entonces eso es menor o igual que menor igual que esto menor igual que esto y hay que hacer esta integral cual es la anti derivada de esta expresión pues es m por x menos a elevado al cuadrado dividido entre 2 lo hice muy rápido pero puedes usar sustitución o ver de lejos que esta expresión tiene derivada 1 tratarla como una variable aumentar su exponente en uno y dividir entre el nuevo exponente como todavía es una integral indefinida hay que poner más c otra vez nos gustaría poder acotar ese valor de c vamos a usar exactamente la misma lógica que antes si evaluamos esta expresión en a otra vez vamos a obtener 1 vamos a ponerle a en los dos lados entonces a la izquierda cuando le ponemos un a nos queda 0 fíjate teníamos aquí la n encima derivada entonces vamos a obtener que 0 aquí tenemos esto es menor o igual que el lado derecho si ponemos x igual a todo esto se cancela porque es x menos al cuadrado se va más c entonces tenemos que se es mayor o igual que 0 entonces el menor valor que podemos darle a c es cero así vamos a tomar c es igual a cero sale lo voy a indicar tachando ce y poniendo aquí cero la idea clave aquí es que podemos seguir haciendo este procedimiento repetidamente es decir podemos integrar estos pasos así sucesivamente hasta que lleguemos a pues a ver vamos a integrar integrar integrar y entonces podemos bajar todas las derivadas hasta la cero décima derivada es decir hasta la función de error aquí le voy a poner arriba está el exponente tantito un cero para que la pensemos como la 0a derivada pero bueno lo que obtenemos es que esto está acotado es decir es menor o igual que la fórmula queda así primero va una eme y luego la multiplicamos por x menos a que exponente pues veamos que siempre que sumamos el exponente con el número de derivada queda n 1 como estamos en la 0a derivada el exponente va a ser n 1 finalmente tenemos que dividir entre y pues mira aquí abajo le voy a poner n 1 factorial y de dónde sale este n 1 factorial si aquí arriba simplemente tenemos un 2 pero pensemos por qué apareció este 2 cuando integremos este x menos a va a subirse a tercera potencia y vamos a dividir entre 3 entonces va a ser 2 x 3 cuando integremos una vez más se va a volver cuarta potencia y dividimos entre 4 y entonces en el denominador nos queda 4 por 3 por 2 por 1 o sea 4 factorial en general hay que dividir entre el factorial del exponente que tengamos pero lo interesante de todo esto es que si somos capaces de encontrar ese valor que acota la enzima derivada de nuestra función en el intervalo a b entonces tenemos una forma de acotar la función de error en ese mismo intervalo / a por ejemplo si supiéramos el valor de m entonces podríamos acotar el error en b como sigue tendríamos que el valor absoluto del error en b es menor o igual que m por b menos ha elevado a la n-1 dividido entre n más 1 factorial uff aquí sí que hay un montón de matemáticas finas esto nos da un resultado bien poderoso es hora de que lo pongamos en práctica viendo algunos ejemplos
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