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Ejemplo resuelto: intervalo de convergencia

El intervalo de convergencia de una serie de potencias es el intervalo de los valores de entrada para los cuales la serie converge. Para encontrarlo, empleamos varias técnicas. Mira cómo se hace en este video.

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Transcripción del video

aquí tenemos una serie infinita y la meta de este vídeo es tratar de encontrar el intervalo de convergencia de esta serie esta es otra forma de decir que el rango de valores de x va a converger esta serie y como siempre los invito a que pausa en el vídeo y traten de resolver esto por su cuenta sirve en esta serie pues no coincide exactamente con una serie geométrica o con una serie alternante cuando veo algo así pienso en el criterio de la razón ya que tiende a ser bastante general y para aplicar el criterio de la razón queremos pensar en el límite cuando n tiende al infinito del término n 1 dividido entre el enésimo término el valor absoluto de esto sí esto es menor que 1 entonces va a converger y los valores de x que hagan que esto sea mayor que 1 entonces esto divergen y para los valores de x que hagan que esto sea igual a 1 pues entonces no tendremos una respuesta no sabremos si esto converge o diverge por lo que tendremos que usar otras técnicas para saber si esto converge o divergen pensemos en esto vamos a evaluarlo el límite cuando n tiende al infinito del valor absoluto de a su n 1 esto va a ser x a la n 1 entre n 1 x 5 a la n 1 y esto lo vamos a dividir entre a subíndice n que corresponde a x a la n entre n por 5 a la n tomamos el valor absoluto de todo esto vamos a simplificar esto aquí abajo esto es x a la n 1 entre el 1 por 5 a la n 1 que multiplica al recíproco de esto que es n por 5 a la n entre x a la n esto lo podemos simplificar de la siguiente manera dividimos el numerador entre x a la n y nos queda x y dividimos numerador y denominador entre 5 a la n esto es 1 esto es y esto va a ser 5 a la n 1 entre 5 a la n va a ser igual a 5 y nos queda x por n entre distribuimos a este 5 y nos queda 5 n 5 ahora reescribimos esto va a ser igual al límite cuando n tiende a infinito de el valor absoluto de esto de aquí y para ayudarnos a calcular este límite vamos a dividir el numerador y el denominador entre m no estoy cambiando el valor ya que estoy haciendo lo mismo con el numerador y el denominador los dividimos entre el mismo valor si / numerador y denominador entre n esto va a ser lo mismo que x entre 5 + 5 entre m y cuando divido el numerador y el denominador entre n es bastante obvio que sucede cuando n tiende al infinito cuando n se aproxima al infinito x no va a cambiar 5 no va a cambiar pero 5 entre m tiende a 0 así que este límite va a ser igual a x entre 5 nos quedó algo bastante sencillo y ahora vamos a usar esto el valor absoluto de x entre 5 y vamos a analizar bajo qué condiciones el valor absoluto de x entre 5 es menor a 1 en donde definitivamente va a converger bajo qué condiciones será mayor que 1 en donde definitivamente diverge y bajo qué condiciones no vamos a saber si convergió divergen veamos bajo qué condiciones va a converger para que valores de x el valor absoluto de x entre 5 va a ser menor que 1 que es nuestra situación de convergencia esto es lo mismo que decir que menos 1 es menor que x entre 5 y que a su vez éste sea menor a 1 multiplicamos todos los lados por 5 y nos queda menos 5 menor que x y x menor que 5 sabemos que si esto se cumple esto definitivamente va a ser parte de nuestro intervalo de convergencia si nuestra x está dentro de este rango nuestra serie va a converger pero aún no terminamos tenemos que ver el caso en el que no tenemos respuesta pensemos en el escenario en el que el valor absoluto de x entre 5 es igual a 1 otra forma de pensar en esto es decir que x entre 5 es igual a 1 o que x entre 5 es igual a menos 1 lo que significa que x es igual a 5 o x es igual a menos 5 estos son los dos casos en los que no sabemos si converge o diverge vamos a probarlos individualmente usando los en nuestra serie usando x igual a 5 y x men o 5 en el primer escenario cuando x es igual a 5 nuestra serie va a ser la suma desde que n es igual a 1 hasta infinito de 5 a la n entre n por 5 a la n esto va a ser igual a la suma desde que me es igual a 1 hasta infinito de 1 entre n y esta es una serie armónica es la serie p en donde p es igual a 1 y sabemos que de la serie es p si p es igual a 1 esto bergé lo vimos en el vídeo de series armónicas esto definitivamente divergen y esto lo pueden probar con el criterio de la convergencia de las series p y si la p es igual a 1 para estas series p va a divergen así que 5 definitivamente no es parte de nuestro intervalo de convergencia ahora veamos qué pasa cuando x es igual a menos cinco cuando x es igual a menos 5 esto va a ser igual a la suma desde que n es igual a 1 hasta infinito de menos 5 a la n entre n por 5 a la n esto es igual a la suma desde que n es igual a 1 hasta infinito y esto podemos escribirlo como menos 1 a la n por 5 a la n entre n por 5 a la n esto se cancela y nos queda una serie alternante y quizás sepan que esto convergen o pueden usar el criterio de las series alternantes y este criterio de las series alternantes en este criterio si vemos que esto se decremento a mono tónica y el límite cuando n se aproxima al infinito es 0 esto va a converger las series armónicas alternantes convergen y ya que esto convergen podemos incluirlo en nuestro límite aquí en nuestro intervalo de convergencia así que x no tiene que ser estrictamente mayor que menos 5 puede ser mayor o igual que menos 5 pero tiene que ser menor que 5 y así encontramos nuestro intervalo de convergencia