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Contenido principal
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Transcripción del video

en el vídeo pasado sentamos las bases intuitivas de por qué o más bien qué es lo que representa una serie de mclaren y hacia el final del vídeo les dije que la serie de mac loring es un caso especial de la serie de tale of en la serie de mac lorin estamos aproximando la función alrededor de x igual a 0 en la serie de taylor de la cual les hablaré en un vídeo posterior tú puedes aproximar el valor de la función alrededor de una x arbitraria o más bien de una f x arbitraria con eso en mente enfoquémonos en la serie de mack loring que es bastante más simple y nos puede llevar a conclusiones profundas acerca de las matemáticas que es exactamente a donde quiero llegar hagamos entonces la sedema cloning para funciones que son fácil de tomar derivadas y de las cuales puedes tomar derivadas una vez y otra vez y otra vez y nunca terminar de hacerlo así que desarrollamos la serie de mclaren para coseno de x tomamos fx igual a kossen de equis y antes de que apliquemos esta fórmula que desarrollamos de manera intuitiva en el vídeo pasado tomemos algunas derivadas para que nos demos una idea de cómo se comportan así es que si tomamos la primera derivada f prima de x arriba de coseno de x es menos seno de x tomemos sola la derivada de esta primera derivada efe mi prima de x leyva de seno de x es con x pero con el signo menos es menos coseno de x tomemos la segunda derivada rival coseno de x es menos en x pero con este signo menos nos da seno de x positivo y si tomamos la derivada de eso tendremos la diva el seno de x que es pues en el x sería la cuarta derivada usar esta anotación para la cuarta derivada entonces es coseno de x la cuarta derivada y si ves la fórmula que desarrollamos en el vídeo pasado necesitamos tanto la función evaluada en 0 como sus derivadas evaluadas en cero así es que calculemos estos valores efe de cero efe de 0 es igual a coseno de 0 coseno de cero es 1 2 en odesur es uno sin importar si estás hablando de 0 grados o 0 radian es seno de 0 es cero seno de cero es cero entonces tenemos f prima efe prima de 0 es igual a cero jose no de cero es 1 como tenemos el signo menos entonces sería menos 1 la segunda derivada evaluada en 0 es igual a menos 1 tomemos ahora la tercera derivada la tercera derivada de evaluada en cero es seno de cero y seno de cero es igual a cero vamos a la cuarta derivada coseno de cero es 1 la f4 y prima de 0 es igual a 1 y aquí vemos un patrón interesante 10 menos 10 10 menos 10 así es que si aplicamos esta fórmula con estos valores que lo que resultaría déjame hacer mi mejor labor aquí tendríamos que así que nuestro polinomio nuestra aproximación polinomio de coste de x sería efe de 0 efe de 0 es igual a 1 más efe prima en 0 1 + efe primer 0 pero efe prima de 0 es igual a 0 entonces efe primer 0 por x sería 0 y siquiera nos vamos a tomar la molestia de escribirlo este segundo término el cual es 0 + la segunda derivada evaluada en 0 la segunda derivada de valor en 0 que es menos 1 entonces sería menos -1 por x cuadrada sobre 2 factorial 2 factoriales 2 pero vamos a escribirlo aquí como 2 factorial para ver el patrón para que sea más evidente el patrón que se forma vamos al siguiente término el siguiente término es la tercera derivada evaluada en 0 pero la tercera derivada del valor en cero también es cero así es que este término también desaparece de la expresión veamos el siguiente término es la 4ª derivada de evaluada en cero este término es igual a 1 por lo cual aquí este coeficiente es 1 uno que multiplica a x 4a sobre 4 factorial y aquí ya podemos ver que empieza a surgir un patrón tenemos un cambio de signos un signo positivo de 1 negativo luego 1 positivo y esto lo puedes checar conforme aumentamos términos a la serie puedes hacer esto si no me crees aquí el término es x a la 01 por x a la 0 - x cuadrada + x a la cuarta y de acuerdo este patrón si aquí tenemos un signo más seguido un signo menos x a las 6 sobre 6 factorial lo vendría más x a la octava sobre 8 factorial menos x a la décima sobre 10 factorial y así puede seguir sucesivamente y si continuamos agregando términos lo que tenemos aquí es la expansión polinomio de coseno de x y realmente es muy padre que podamos representar así una función trigonométricas es un patrón muy simple para una función trigonométricas nos volvemos a encontrar con que todo en matemáticas está conectado y en futuros vídeos veremos conexiones tan profundas que ni te imaginas
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