Ejemplo resuelto: función coseno a partir de su serie de potencias

aquí tenemos una serie infinita la suma desde n igual a cero hasta infinito de menos 1 elevado a la n que multiplica a x elevado a la 6 n sobre 2 n factorial y mi objetivo en este vídeo es evaluar esta serie de potencias cuando x es igual a la raíz cúbica de pi sobre 2 te invito a que le pongas pausa el vídeo y lo intentes por tu cuenta te voy a dar una pista determina a qué función se refiere esta serie de potencias y entonces evalúa la cuando x tiene este valor y aquí te doy otra pista observa que este es un número extraño un número misterioso y sobre dos que este tipo de números que utilizamos cuando evaluamos funciones trigonométricas y ahora te dejo que lo intentes por tu cuenta supongo que ya lo intentaste ahora hagámoslo juntos en este tipo de problemas me gusta darme cuenta de que se trata expandiendo los primeros términos de la serie de potencias así es que al expandir esta serie el primer término cuando en es igual a cero - 10 es uno de hecho todo el primer término es uno cuando en es igual a 1 esto es menos 1 a la 1 - 1 x a la sexta sobre 2 factorial luego más menos 1 al cuadrado es más 1 x a la 12 x elevado a la 12 sobre 4 factorial vamos a hacer un último término menos equis elevado a la 18 sobre 6 factorial y así continúan los infinitos términos de esta serie ahora a simple vista no se me ocurre una función trigonométricas que esté representada por esta serie y estoy pensando en función trigonométricas debido a este número que tenemos aquí en términos de pi sobre 2 no se me ocurre a simple vista pero si se ve sospechosamente familiar viéndolo bien esto se parece mucho a la serie maclaurin para coseno de x la cual ya hemos visto varias veces recordemos como es el vídeo previo que hemos hecho mack loring para coseno de x establece claramente cómo llegamos a esto la serie de mac loring para coseno de x es igual a o aproximadamente igual solo voy a hacer algunos términos es aproximadamente igual a 1 - x cuadrada sobre 2 factorial más x a la cuarta sobre 4 factorial menos x a la sexta sobre 6 factorial y así sucesivamente y aquí ya vemos la similitud el primer término es igual aquí tenemos menos más menos aquí también tenemos menos más menos aquí tenemos entre 2 factorial 4 factorial 6 factorial la única diferencia son las potencias de x aquí tenemos x a la sexta aquí quizá al cuadrado aquí tenemos x a la cuarta aquí x a la doceava aquí quizá la sexta aquí x a la 18 ahora tenemos que pensar de qué manera podemos reemplazar x aquí porque qué sucede por ejemplo cuando expandimos la serie para coseno de a más b en ese caso cuando desarrollamos la serie en lugar de x vamos a tener a + b la pregunta es podemos encontrar alguna potencia de x de tal manera que esto de aquí se hace igual a esto de acá bien esto de aquí x a lasexta esto de aquí es lo mismo que x al cubo elevado al cuadrado aquí tenemos x a la doceava que es lo mismo que quizá al cubo elevado a la cuarta mientras que x elevado a la 18 es lo mismo que quizá al cubo elevado a la sexta así es que si reemplazamos cada una de las equis que tenemos aquí por x al cubo vamos a obtener esta serie que tenemos acá es decir estamos obteniendo la expansión en serie de potencias de coseno de x cúbica déjame hacerlo con otro color así que el co seno de ese no es otro color el coseno de x kubica va a ser igual de nueva cuenta en lugar de x voy a sustituir x cúbica 1 menos buena el paréntesis elevado al cuadrado sobre 2 factorial no de hecho deja de escribir esto en el verde lo va a poner en el verde original así es que esto es igual a 1 menos paréntesis elevado al cuadrado sobre 2 factorial más paréntesis elevado a la cuarta sobre 4 factorial menos paréntesis elevado a la sexta sobre 6 factorial y ahora sí vamos a poner en color malva el argumento de coseno que es x cúbica aquí tenemos x cúbica elevado al cuadrado aquí x cúbica elevado a la cuarta y aquí x cúbica elevado a la sexta lo cual vemos que es exactamente lo que tenemos aquí así es que esta es la serie de potencias para coseno de x kubica así es que evaluar esto cuando x es igual a la raíz cúbica de pi sobre 2 es lo mismo que evaluar esto cuando x es igual a la raíz cúbica de pi sobre 2 vamos a escribir eso esto ya se puso interesante así es que la suma desde n igual a cero hasta infinito de menos 1 elevado a la n que multiplica a x elevado a la 6 n sobre 12 n factorial esto es igual esto es igual al coseno de x cúbica coseno de x elevado al cubo ahora cuando x es igual a la raíz cúbica de pi sobre 2 sabemos la razón de este misterioso número al elevar al cubo la raíz cúbica ésta se va a eliminar de tal manera que el coseno de la raíz cúbica de y sobre 2 todo esto elevado al cubo es igual simplemente al co seno de iu sobre 2 que por supuesto es igual a 0 y así hemos concluido