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Contenido principal

La serie geométrica como una función

Las series de potencias de la forma Σk(x-a)ⁿ (donde k es una constante) son series geométricas cuyo término inicial es k y cuyo radio de convergencia es (x-a)- Puesto que tenemos una expresión para la suma de una serie geométrica, podemos volver a escribir tal serie de potencias como una expresión finita. Creado por Sal Khan.

Transcripción del video

Tenemos una función que es igual a 2 -  8x² + 32x⁴ - 128x⁶ con más y más términos,   definida como una serie infinita. Lo que quiero  explorar en este video es si hay alguna otra forma   de escribir esta función que no sea en forma  de serie infinita. En estos momentos, algunos   de ustedes pueden estar pensando: "Mmm, esto se  parece a una serie geométrica del lado derecho,   a una serie geométrica infinita". Y conocemos  la suma de la serie geométrica infinita, si   es que converge, podemos intentar expresarla así.  Empezamos comprobando que es una serie geométrica   infinita. Para que sea una serie geométrica  infinita, cada término sucesivo debe ser igual al   término anterior multiplicado por una razón común.  Para pasar de 2 a 8x² ¿por cuánto lo tenemos que   multiplicar? Lo tenemos que multiplicar por -4x².  Ahora, si multiplicamos (-8x²) (-4x²), ¿qué nos   queda? Menos 8 x -4 es más 32 y x² por x² es x⁴, sí  coincide. Y luego multiplicamos eso por -4x²,   y en efecto nos queda -128x⁶. Esta sí parece ser  una serie geométrica infinita del lado derecho,   incluso la podemos reescribir como: f(x) =  Σ desde que n = 0 hasta el ∞ de, ponemos el   primer término, y luego ponemos la razón común  -4x² elevado a la potencia n. Verifiquemos que   funciona cuando n = 0, esto es igual a 1 y 2 por  1 es 2. Efectivamente es nuestro primer término. A   eso le vamos a sumar el término de la serie cuando  n = 1, que es igual a 2 (-4x²), y resulta en este   término de aquí. Y parece como que sí funciona.  Ahora, ¿cuál es la suma de una serie geométrica   infinita como esta? La suma va a ser un número  finito, si el valor absoluto de la razón común   es menor que 1. Antes que nada, pensemos en bajo  qué circunstancias el valor absoluto de la razón   común es menor que 1, eso nos ayuda a encontrar  el radio de convergencia, y si x está en esa zona,   si está en ese intervalo, entonces podemos  encontrar una forma de definir a esta función   que no sea una serie geométrica infinita. Si nos  preguntamos ¿en qué situaciones converge?, ¿en qué   situaciones es igual a un valor finito? Eso sucede  cuando el valor absoluto de la razón común es ˂   1. Veamos si podemos simplificar un poco esta  expresión. No importa cuál sea el valor de x,   x² siempre va a ser positivo, por lo que toda  esta expresión siempre es negativa, y si sacamos   su valor absoluto es igual a 4x², que siempre es  positivo, esto siempre es igual a 4x², que tiene   que ser ˂ 1. También podemos decir que x² tiene  que ser ˂ ¼, es decir: x tiene que ser ˂ ½ y ˃ -½.   Si x está en cualquier punto de este intervalo,  y la elevamos al cuadrado, va a ser menor que ¼,   el punto ½, si lo elevamos al cuadrado, es igual  a ¼, y el punto -½, si lo elevamos al cuadrado,   es igual a ¼, pero para valores absolutos menores  va a ser ˃ ¼, esto es lo que nos está diciendo   este intervalo. Otra forma de decirlo es que  el | x | tiene que ser ˃ ½. Acabamos de definir   el intervalo sobre el cual la serie infinita  converge, también podemos decir que el radio de   convergencia de la serie -radio de convergencia,  de convergencia- es ½, y x puede subir o bajar ½   a partir del 0. Ya que encontramos las condiciones  de convergencia de la serie, reescribámosla. Esta   función es igual a -ya conocemos el valor de la  suma de series geométricas infinitas-, es igual   al primer término entre 1 menos la razón común,  -4x². Podemos reescribir nuestra función como:   2 / 1 menos un número negativo nos queda como un  +, + 4x², y esto es para los valores absolutos de   x menores a un medio. Este es el intervalo  de convergencia, y listo, ya terminamos.