Ejemplo resuelto: reconocer una función a partir de su serie de Taylor

en este ejercicio nos preguntan cuál de las siguientes funciones tiene esta serie de taylor en cero por lo que es una muy buena idea empezar pensando acerca de esta serie veamos cuando en es igual a cero menos uno elevado a la potencia cero es un 1 x elevada a la potencia 0 también es 1 y 0 factoriales 1 así es que esta serie empieza con un 1 más este término cuando n es igual a 1 pero cuando n es igual a 1 aquí vamos a tener un signo negativo por lo que ya no tenemos más tenemos menos y luego tenemos x elevado a la potencia 1 / 1 factorial o sea x / 1 pero esto lo podemos escribir simplemente como x y luego cuando n es igual a 2 tenemos aquí menos 1 al cuadrado así es que aquí tenemos un 1 vamos sumar este término x elevada a la 2 entre 2 factorial y luego tenemos menos x al cubo entre 3 factorial más x a la 4 entre 4 factorial y esto va a seguir alternando se más menos más menos y así y ahora nuestra fórmula general para una serie de taylor en 0 también conocida como la serie de mac loring la fórmula general es así primero tenemos efe de 0 luego tenemos que sumar la derivada de f en 0 por x más la segunda derivada de f en 0 por x al cuadrado entre 2 más la tercera derivada de f en 0 por x elevado a la 3 entre 3 factorial más la cuarta derivada de f en 0 por x a la 4 entre 4 factorial y bueno tenemos aquí la idea de cómo sigue esto porque tenemos que seguir sumando y sumando todos los términos de la serie ahora nosotros lo que queremos es encontrar cuál de estas funciones tiene esta serie de taylor en cero pero para que esto sea la serie de taylor en cero para que sea la serie de mclaren que por cierto esto es lo que escribimos aquí en azul para que esto sea la serie de mack loring de alguna función este término tiene que ser igual a éste y luego este otro término también tiene que ser igual a este pero vamos por partes vamos a escribirlo con esto sabemos que f de 0 tiene que ser igual a 1 y luego estos dos términos nos dicen que f prima en 0 tiene que ser igual al coeficiente de este término o sea menos 1 y luego por acá tenemos que f di prima en 0 tiene que ser igual al coeficiente de x al cuadrado entre 2 en este término pero eso es simplemente un 1 y seguramente aquí ya podemos ver la idea general por ejemplo también sabemos que la tercera derivada en 0 tiene que ser igual al coeficiente de x al cubo entre 3 factorial osea menos 1 y ahora lo que nos vamos a preguntar es si con esta información que tenemos aquí ya sabemos de estas funciones es la que tiene a esta serie como serie de taylor en cero aquí se puede hacer un poco de razonamiento deductivo por ejemplo podemos empezar evaluando todas estas funciones en cero y viendo cuáles de ellas son iguales a 1 cuando las evaluamos en cero veamos vamos con este ejemplo por aquí cuando evaluamos a 0 en 0 nos queda 0 entonces como ya sabemos que f de 0 tiene que ser igual a 1 esto directamente elimina a seno de x luego coseno de 0 es 1 así es que la respuesta correcta todavía podría ser coseno elevado a la 0 también es 1 y por acá elevado a la 0 es 1 y por aquí logaritmo natural de 10 esto es logaritmo natural de 1 lo cual es cero así es que también lo podemos tachar con esta única condición de que f de 0 tiene que ser igual a 1 ya logramos eliminar a dos de las opciones ahora tomemos en cuenta esto que ya sabemos de que la primera derivada en cero tiene que ser igual a menos uno veamos cuál es la primera derivada de coseno de x bueno pues es menos seno de x si evaluamos menos seno de x en 0 no vamos a obtener menos 1 vamos a obtener 0 así es que podemos tachar este de una vez ahora que a la x la primera derivada de a la x es a la x y si le evaluamos en 0 vamos a obtener 1 no menos 1 así es que también podemos tachar esta opción y ahora viendo las cosas como están podemos estar bastante seguros de que d es la opción correcta pero vamos a verificarlo la primera derivada efe prima en x es igual a menos a la menos x así es que la primera derivada en 0 es igual a menos a la 0 que es 1 entonces era la menos x por lo menos cumple esta condición y bueno si tienes un poco de curiosidad podrías seguir verificando esto podría checar que el ala menos x si cumple con estas otras condiciones ahora lo que ya sabemos es que la opción de es la única de todas las opciones posibles en este ejercicio que cumple con las primeras dos condiciones la función evaluada en cero y la primera derivada evaluada en cero