Serie de Maclaurin de sin(x)

en el vídeo pasado usamos la serie mac loring para aproximar coseno de x y lo hicimos así usando este polinomio que tenía un patrón sumamente interesante veamos si este mismo patrón se repite cuando aproximamos seno de x con una serie de mac loring insistimos que una serie de mclaren es en realidad una serie de taylor cuando centramos nuestra aproximación alrededor de x igual a 0 es un caso especial de serie de taylor así es que tomemos nuestra función fx igual a seno de x f x igual a seno de x llegamos lo mismo que hicimos con coseno de x tomemos rápidamente las derivadas de coseno de x así tenemos que la primera derivada de seno de x es x y la segunda derivada del seno de x es la derivada de coseno x que es menos seno de x la tercera derivada en la derivada de menos 0 de x será efe pondré 3 entre paréntesis como la tercera derivada en lugar de este tri prima y en la deriva de menos seno de x que es menos coseno de x la cuarta derivada la cuarta derivada de f con respecto a x es derivar me conozco seno de x que es seno de x y como podemos ver al igual que con coseno dx tenemos ciclos al calcular las derivadas y para calcular la serie mclovin tenemos que evaluar fx y sus derivadas en x igual a cero hagamos eso así es que dejarme hacerlo en otro color no el mismo azul que está usando voy a usar ahora el púrpura loops no se ve déjanos otro color así es que efe de cero es seno de cero que es igual a cero efe primer cero efe primer cero es coseno de cero coseno de cero es igual a uno efe mi prima de cero es menos seno de cero menos seno de cero es igual a cero efe three prima la tercera derivada en cero es igual a menos coseno de 0,901 así es que esto es menos 1 efe 4 y prima o la cuarta derivada en 0 es igual a seno de 0 que es de nueva cuenta 0 y así podríamos seguir pero vemos este platón 0 10 menos 101 de nuevo y así seguiría encontremos entonces la representación polinomiales 'no la serie más gloria recordemos que esta de aquí es la aproximación de coseno de x y te vas acercando cada vez más cada vez más sacó seno de x no va a demostrar aquí que es exactamente coseno de x pero a medida que tú agregas términos esta expansión te acercas a coseno de x de tal manera que agregando un número infinito de términos este polinomio es exactamente igual a coseno de x hagamos ahora seno de x para otro color este verde estar bueno pd xy ésta hace una aproximación a seno de x a medida que agreguemos más términos esto va a ser una mejor aproximación entonces hagamos la aproximación en el primer término que se fue de 0 f de cero que es igual a cero este término lo vamos a incluir el siguiente término sf prima de 0 efe primer ser es uno por equis este término sería x + f mi prima de 0 la segunda derivada en células un deriva del 0 es cero tampoco lo incluimos el tercer término que es la derivada evaluada en cero este sería la tercera derivada es menos 1 entonces tendríamos aquí menos uno menos uno que multiplica a - uno que multiplica a uno entre tres factorial por equis cúbica entonces sería menos x cúbica sobre tres factorial y el siguiente término que va a ser cero la cuarta deriva de evaluada en cero vemos aquí que la cuarta y vera de valor en cero es cero el coeficiente de este término es cero lo que hace que este término no aparezca en la serie y lo que vemos aquí quizás no tenemos suficientes términos para que veamos que está sucediendo déjame hacer un término más aquí abajo entonces la quinta derivada de f la quinta de ciudad de f con respecto a x es co seno de x la quinta derivada déjame hacerlo con el mismo color que hemos utilizando la quinta derivada evaluada en cero es igual coseno de cero que es igual a 1 así es que el siguiente término nos quedamos en la cuarta derivada evaluada en cero que era cero siguiente terminó es la quinta derivada que es 1 x uno no lo escribimos siguiendo el patrón que tenemos arriba sería x a la quinta sobre 5 factorial y aquí hay algo interesante para coseno de x tenemos como primer término uno por equis a la cero que es 1 y no tenemos x a la potencia 1 de hecho no tenemos esa potencia impar sólo tenemos x a la potencia par dividido entre el factorial de la potencia y los signos que se van alternando y aquí tenemos x a la 0 yo no diría que ese de su número par bueno quizás he visto de alguna manera pero no voy a entrar hoy en eso lo que tenemos entonces el patrón x a la 0 x al cuadrado a la cuarta ixe la sexta a la octava x al número pares para la función se en el patrón es similar sólo que tenemos aquí potencias impares el primer término es x a la 1 sobre 1 factorial menos x a la 3 sobre 3 factorial más x a la quinta sobre 5 factorial viéndolo bien 0 si es número par que decir mi mente está ahorita divagando y así podemos seguir el siguiente término siguiendo este patrón sería menos x a la séptima sobre 7 factorial x a la novena sobre 9 factorial ya que hay algo interesante acerca de la naturaleza de seno de xy coseno de x como si estuvieran mutuamente llenando el hueco que dejan entre sí tenemos que coseno de x es x a la potencia par dividido entre el factorial de esa potencia cuando toma la representación polinomio al del seno de xx a la potencia impar dividido entre el factorial de esa potencia con los signos que se intercambian en el siguiente vídeo haré a la x si lo que es fascinante es que a la x parece una combinación de seno de xy coseno de x aunque en realidad no es tal esta combinación se logra de hecho cuando involucras números imaginarios y es cuando empieza de verdad de verdad a ser tan interesante que te dispara la mente