Serie de Maclaurin de eˣ

en este vídeo vamos a hacer algunas cosas interesantes lo primero que vamos a hacer es encontrar una de las representaciones en series de mayor y más sencillas la de ea la equis entonces tomemos fx es igual a la x y lo que hace que encontrar esta serie sea tan sencillo es una de las propiedades más sorprendentes de que la derivada de la función a la x es ea la x sale entonces esto es igual a f prima de x es igual a la segunda derivada en x es igual a la tercera derivada de evaluada en x y es igual a pues la que sea a la enésima derivada en x todas estas son la x insisto esto es algo loquísimo del número e lo que nos dice es que la pendiente de la tangente a la x en cualquier punto es igual al valor de la función en ese mismo punto uff que padre con esto dicho vamos a calcular la representación en serie de más gloria debemos encontrar efe de 0s prima de 0 es de doble prima de cero y así pero es a la cero a la cero es simplemente 1 entonces esto es igual a efe de 0 es igual a efe prima de 0 es igual a y así sucesivamente a cualquiera de las derivadas a ver déjame ponerle así la enésima derivada evaluada en 0 la que queramos pues y esto es lo que hace que sea muy directo encontrar la serie de mag loring de la equis va entonces si quisiéramos aproximar a la x le voy a poner por aquí a la x es aproximadamente igual a esta anotación quiere decir que nos acercamos más y más a ella la x conforme vamos sumando más y más términos entonces nos quedaría efe de 0 efe de 0 a ver lo voy a hacer con otro color que no haya usado antes aquí ese rosa y verde entonces voy a usar digamos amarillo va entonces efe de 0 es igual a 1 luego hay que sumar f prima de 0 por equis pero fue prima de 0 es también 1 entonces es más x más otra vez un 1 por x al cuadrado entre 2 factoriales más x al cuadrado entre 2 factorial más otro 1 todos estos son unos verdad 11 otro 1 y en este necesitamos pues también tenemos un 1 lo único que nos queda es x al cubo entre 3 factorial más x al cubo entre 3 factorial creo que ya más o menos sobre el patrón vamos a ponerle más x a la 4 entre 4 factorial más x a la 5 entre 5 factorial más x a la sexta entre 6 factorial más y así sucesivamente y algo que es muy padre de esta representación es lo siguiente que bueno número uno esto está muy padre verdad que era la x puede ser aproximado por uno más x mas x al cuadrado entre 2 factoriales más x al cubo entre 3 factorial una vez más era la x parece ser que es una función así súper buena pero esto lleva a otros resultados interesantes por ejemplo si quisiéramos aproximar a más y entonces hay que ponerle aquí x igual a 1 entonces obtendríamos lo siguiente sería aproximadamente igual a bueno y es a la 1 y la 1 es aproximadamente igual a este polinomio evaluado en 1 como x es igual a 1 tenemos que sustituir x igual a 1 en todas partes y entonces tendríamos uno más uno más uno al cuadrado o sea uno entre dos factorial más un al cubo o sea uno entre tres factorial más uno entre cuatro factorial y así sucesivamente podríamos seguir sumando una infinidad de términos fíjate este de aquí podemos verlo también como 1 entre 1 factorial bueno déjame borrar esto pero lo que está realmente padre es que esta es una forma muy muy bonita de representar ahí a mí me parece súper padre que sea dos más uno entre dos factores más uno entre tres factorial y así sucesivamente que estas fracciones se aproximen a él es espectacular pero la emoción no se queda aquí aún queda algo fascinante por ver mira vamos acá arriba y vamos a ver las representaciones de más gloria de las funciones trigonométricas vamos a copiar y pegar la de coseno de x y la de seno de x entonces déjame elegirla con todo el nombre hasta acá entonces vamos a copiar vamonos acá abajo le ponemos pegar ahí está coseno de equis y ahora vamos por seno de x entonces aquí tomamos en o de equis estas representaciones las encontramos en el vídeo pasado entonces edición copiar y ahora vamos acá abajo edición pegar listo entonces ves algo en común entre las representaciones de mayor índice no coseno y x pues estas dos si se ven muy relacionadas pero qué pasa con la x lo que vemos es lo siguiente mira coseno de x se ve mucho como este término con este término pero con un signo negativo entonces tendría que ser un menos equis cuadrada entre dos factorial más este de acá más una versión negativa de este término de acá ahora por otro lado en seno de x seno de x se parece mucho a este término más una versión negativa de este término más este término más una versión negativa de éste y así sucesivamente y entonces si pudiéramos arreglar los signos negativos de alguna manera interesante o creativa parecería hacer que a la x ésta de alguna forma o bueno al menos su representación polinomio de alguna forma relacionada con una combinación de las representaciones polinomiales de coseno de x y de seno de x esto se está poniendo súper súper súper loco en empezamos a ver una conexión entre algo que tiene que ver con interés compuesto o bien una función cuya deriva de ella misma y estas cosas que vienen del círculo unitario que son cosas trigonométricas parece ser que hay algunas conexiones en el fondo que son muy interesantes pero bueno vamos a dejarle así en el siguiente vídeo no te pierdas de cómo reconciliar estas tres fascinantes funciones