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Transcripción del video

en varias ocasiones te ha hablado de cómo usar un poli 9 para aproximar una función lo que quiero hacer en este vídeo es mostrarte cómo es que esto sucede para esto usar el sitio wolframalpha un sitio donde pueden ser toda clase de locura matemática wolframalpha puntocom el sitio donde sacado esta imagen y la he pegado para que trabajemos sobre ella recientemente me encontré con stephen wolfram en una conferencia quien me dijo adelante puedes usar wolframalpha en tus vídeos y es súper útil pues si bien puedes hacer esto con una calculadora gráfica paso a paso con wolfram alta lo puedes hacer de un solo jalón veremos ahora cómo aproximar la función seno de x por medio de lo que se conoce como expansión en serie más gloria o expansión en serie de taylor alrededor de x igual a 0 usando cada vez más términos apreciaremos visualmente el hecho de que entre más términos tengamos mejor es la aproximación a seno de x veamos la gráfica aquí en naranja tenemos seno de x una vieja conocida nuestra en vídeos previos hemos visto cuál es la expansión de mag loring para seno de x wolframalpha también lo hace para nosotros de hecho desarrolla los factoriales 3 factoriales 65 factoriales 120 y así sucesivamente lo que es interesante es que tú puedes elegir cuántas aproximaciones vas a utilizar lo que se hace entonces es eliminar términos en este caso nos quedamos sólo con el primer término el polinomio es igual a equis y esta es la curva que lo representa nos damos cuenta de esto por estos puntos que se encuentran en la recta algo que es realmente ingenioso así es que esta de aquí es p de x igual a x la aproximación es burda sin embargo cerca de cero vemos que la recta está encima de la curva del seno de x para posteriormente separarse agreguemos otro término ahora lo que la función resulta x - x cúbica sobre 6 tendremos ahora dos términos aunque más bien en lo que hay que enfocarnos es que ahora tenemos un término de orden 3 aquí teníamos el polinomio de orden 1 x a la 1 lo que se veía como un punto en la gráfica y ahora tenemos el término x cúbica sobre 6 polinomio de orden 3 no tuvimos un término cuadrática es decir no tuvimos un polinomio orden 2 y tuvimos directamente un polinomio de orden 3 veamos qué sucede en la gráfica buscamos los tres puntos sobre la curva teníamos originalmente el problema de orden uno que es esta línea recta y ahora que hemos sagrado el término - x cubica sobre 6 tenemos esta curva que es el polinomio de orden 3 y fíjate qué pasa ahora empieza la curva a abrazar seno de x un poquito antes y la deja un poquito después de donde lo hizo la primera aproximación así es que al agregar este segundo término hay una mejor aproximación sobre todo para valores cercanos a 0 agregamos otro término entonces tenemos ahora un polinomio de orden 5 x - x cúbicas sobre 6 más x quinta sobre 120 buscamos ahora la curva de 5 puntos 1 2 3 4 5 esta es la curva y notemos como la curva abraza seno de x poquito antes que lo que lo hizo cuando teníamos los términos y continúa y la continúa abrazando un poquito después de lo que lo hizo la curva anterior vamos a agregar ahora otro término agregamos el cuarto término es x a la séptima entre cinco mil cuarenta y estamos entonces trazando la curva de orden 7 de la curva viene por aquí y observamos que monta la curva seno de x antes de lo que lo hizo con los tres términos anteriores sigue por aquí y sigue sobre la curva todo el trayecto todo el trayecto hasta aquí y el último término si tienes todos estos términos hasta el término x está la novena empieza la curva por aquí y abraza la curva antes y sale un poquito después de lo que le hicieron las curvas anteriores que está pasando aquí cada término que estamos agregando a la serie es un término que tiene un orden cada vez mayor de equis dividido entre un número que es cada vez más grande así es que para valores pequeños de x valores cerca del origen este denominador va a sobrepasar el numerador especialmente cuando el número es menor a 1 porque cuando tienes un número cuyo valor absoluto es menor a 1 al elevar una potencia este número se reduce así que cerca del origen estos últimos términos no importan tanto por así decirlo no pierden la precisión de los primeros términos cuando estos términos exorbitantes aparecen lo hacen cuando el numerador empieza a superar al denominador si es que cuando este término aparece lo hace cuando empieza a ser dominante aquí en esta zona de acá cuando x a la novena supera a 382 1880 y lo mismo sucede para valores negativos espero que con esto te haya quedado claro aquí sólo tenemos uno dos tres cuatro o cinco términos imagina que lo que sucede cuando tenemos una infinidad de términos creo que ya tienes una idea de que por así decirlo se va a montar en la curva de seno de x hasta el infinito espero que esto te haya quedado claro y puedes para entretenerte un rato y de wolfram alpha puntocom y teclear mayor en expansión o taylor expansión para seno de equis o coseno de x alrededor de x igual a cero puedes probar con varias funciones y visualizar así puedes agregar o quitar términos para ver cómo la expansión de la serie se monta en la
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