Diferenciar series de potencias

nos dicen que fx es igual a esta serie infinita y tenemos que encontrar la tercera derivada evaluada cuando x es igual a 0 y como siempre los invito a que pausa en el vídeo y traten de resolver esto por su cuenta antes de que lo resolvamos juntos hay dos formas de resolver esto una es simplemente tomar la derivada de esta expresión que tenemos en notación sigma y otra forma de hacerlo es expandir fx y realizar tres veces su derivada para obtener una respuesta que quizás tenga sentido primero realicemos la segunda forma vamos a expandirla fx es igual veamos cuando n es igual a 0 esto es igual a menos 1 a la 0 es 1 por x a la 2 por 0 3 pues va a ser cero más 3 pues x a la 3 entre dos veces 0 +1 factorial así que va a ser entre 1 el siguiente terminó cuando n es igual a 1 tendremos menos a la 1 así que esto no va a ser sumada a ser resta de x a la 2 por n 2 x 1 35 x a la quinta entre 2 por n que es 12 por uno más uno es 33 factorial 3 factorial es 6 así que es x a la quinta en 36 cuando n es igual a 2 aquí tendremos menos 1 al cuadrado va a ser positivo x a la 2 por n por dos enes 22 por 243 es 7x a la 7 entre 2 por nn es 2 2 por 2 4 155 factorial y vamos a escribirlo así 5 factoriales sería 5 por 4 por 6 pero vamos a dejarlo así el siguiente será negativo el siguiente será positivo y así sucesivamente ahora realicemos la derivada de esto efe prima de x va a ser igual aplicamos la regla de la potencia y bajamos el exponente 3 x al cuadrado menos 5 sextos por equis a la cuarta más 7 entre 5 factorial por equis a las 6 menos más y así por siempre calculamos la segunda derivada f prima prima de x es igual de nuevo aplicamos la regla de la potencia es igual a 6 por x a la 1 menos 5 sextos por 4 es 20 entre 6 x al cubo más 6 por 7 42 entre 5 factorial por x a la quinta menos más y así hasta el infinito alternamos entre algo negativo y algo positivo y así hasta el infinito y ahora hacemos la tercera derivada f prima prima prima de x es igual la derivada de 6 x 6 menos 20 por 360 entre 6 bueno sé que va a ser igual a 10 pero lo dejamos así menos 60 entre 6 por x al cuadrado 42 por 53 210 entre 5 factorial por equis a la cuarta menos algo más algo y así hasta el infinito y ahora vamos a evaluar esto cuando x es igual a 0 todos estos términos que están multiplicados por x se van a volver 0 y solo nos vamos a quedar con este 6 de aquí así que esto es igual a 6 así que la tercera derivada de f evaluada en 0 es igual a 6 otra forma en la que pudimos resolver esto es mantener la notación sigma y encontrar la tercera derivada de esto la primera derivada de x es igual a la suma desde que en es igual a cero hasta infinito de la derivada de esto la derivada es con respecto a x así que para este propósito suponemos que todo lo que no tiene x es una constante en él solo nos va a decir cómo cambiamos de término a término así que tomamos la derivada con respecto a x usamos la regla de la potencia bajamos el exponente y ponemos menos 1 a la n por 2 n 3 que multiplica a x con este exponente de cree mentado en 12 n 2 dividido entre 2 n 1 factorial tomamos la segunda derivada f prima prima de x es igual a la suma desde que en es igual a cero hasta infinito de menos 1 a la n por 2 n 3 por ahora tomamos este exponente y lo bajamos 2 n todo esto dividido entre 2 n 1 factorial y esto estará x x a la 2 n más uno parece que lo que hago es complicado pero realmente lo que hago en cada ocasión es tomar el exponente bajarlo multiplicarlo por esto y de incrementar el exponente de aquí en 1 y para la tercera derivada f prima prima prima de x es igual la suma desde cero hasta infinito de menos 1 a la n iv tenemos 2 n 3 x 12 n 2 x 2 n 1 todo esto entre 2 n 1 factorial y esto está x x a la 2 por n ahora vamos a evaluar esto para x igual a 0 es igual a la suma desde que n es igual a cero hasta infinito de y esto está interesante tenemos todo esto 2 n 3 por 2 n 2 por 2 n 1 / 2 n más 1 factorial x 0 a la 2 por m y quizás se vean tentados a decir oye pues todo esto está x 0 así que va a ser igual a 0 pero recuerden que comenzamos desde n igual a 0 así que para cualquier n que no sea igual a 0 este 0 a esta potencia va a ser igual a 0 y estos términos van a desaparecer así que el único término que importa aquí es cuando n es igual a 0 porque tenemos este 0 elevado a la 0 ya que cualquier cosa elevada a la 0 va a ser igual a 1 así que cuando n es igual a cero tendremos menos 10 qué es 11 por esto es 3 por 2 por 1 entre 1 factorial x 0 a la 0 que es igual a 1 por lo que todo esto es igual a 6 así que tenemos el mismo resultado en ambas formas el primer método me parece que es un poco más directo y un poco más intuitivo parecido a cosas que ya han visto antes pero vean que hicimos lo mismo con ambos métodos solo que aquí lo mantuvimos con la anotación sigma y esta técnica es útil porque en muchas ocasiones se van a encontrar que necesitan resolver las cosas de una manera más general por lo que quizás sea útil realizar las derivadas mientras tenemos la expresión en notación sigma