Encontrar la serie de potencias de una función por medio de integración

sabemos que para x en el intervalo abierto menos un medio un medio esta expresión menos 2 entre 12 x es igual a esta serie de aquí y después nos dicen usando este hecho encuentra la función correspondiente a la siguiente serie y como siempre ponle pausa este vídeo e intentar resolverlo por tu cuenta bueno lo primero que podemos pensar es oye cómo sabemos que esta expresión es igual a esta serie y entonces tal vez en estos momentos empiezas a reconocer que esta es una serie geométrica donde el primer término es menos 2 y después multiplicamos cada término por la razón común para obtener el siguiente término y en este caso la razón común es 2x aquí también estamos multiplicando por dos equis y así nos seguimos así es que como sabemos que esta es una serie geométrica la suma total sabemos que es igual al primer término a menos 2 / 1 - la razón común que es justo lo que tenemos por acá así es que sabemos que esta igualdad es cierta ahora estos son los valores de x para los cuales esta serie converge pero bueno ya que nos sentimos cómodos con esta primera afirmación ahora sí vamos a la pregunta que nos están haciendo lo que queremos es encontrar la función que corresponde a esta serie aquí lo que mi instinto me dice es que lo primero que tengo que hacer es pensar en cómo se relacionan estas dos series así es que veamos término por término aquí tenemos menos 2x y aquí tenemos menos 2 luego tenemos un menos 4 x y un menos 2 x al cuadrado y aquí podemos empezar a pensar que esta serie es la anti derivada de la primera serie que nos dieron o bueno también podríamos decirlo como que la primera serie que nos dieron es la derivada de la segunda serie que nos dieron a ver cuál es la derivada de menos 2x pues es menos 2 y cuál es la derivada de menos 2x al cuadrado pues es menos 4x y así nos podemos seguir entonces ya esta función le llamáramos gdx que bueno mejor vamos a ponerlo así esta serie es la función g de x para obtener hdx a partir de la primera serie que nos dieron lo único que tenemos que hacer es integrar tomar la anti derivada entonces lo que podemos hacer es tomar la integral indefinida de los dos lados del igual aquí tomamos la integral indefinida del lado izquierdo y la integral indefinida del lado derecho de este lado ya sabemos que vamos a obtener g de x pero a ver déjame lo escribo de esta otra forma por aquí tenemos la integral en el denominador tenemos 1 menos 2 x y en el numerador tenemos menos 2 y estamos integrando con respecto a x pero esto también lo podemos escribir de esta otra forma así y esto es igual a la anti derivada de esta serie pero la anti derivada de esta serie es la segunda serie que nos dieron a la que le estamos llamando la función g de x así es que la clave aquí es encontrar esta integral esta anti derivada y tal vez tú ahorita reconoces inmediatamente cuál es esta integral porque lo que tenemos aquí en el denominador su derivada es justo el numerador si consideramos que ésta es su si decimos que es igual a 1 - 2x aquí simplemente vamos a hacer una sustitución con entonces d la derivada de eeuu con respecto a x de y es menos dos menos dos de x así es que tengo veo aquí en el numerador y podemos reescribir esto con el cambio de variable lo que tenemos es la integral de d entre iu y esta integral que es esta tiene que ser igual a g de x y ya conocemos esta integral es el logaritmo natural del valor absoluto de eeuu y como es una integral tenemos que sumar la constante de integración y esta integral es igual a g de x y ahora sí podemos volver a hacer la sustitución de v porque queremos que todo esté en términos de x y/o es uno menos 2x así es que esto es el logaritmo natural del valor absoluto de 1 - 2x más esta constante es igual a g de x y ahora lo único que nos falta es encontrar esta constante y para hacer eso podemos evaluar esta ecuación cuando x es igual a cero entonces vamos a escribirlo por acá cuando x es igual a cero esto es el logaritmo natural de más la constante tiene que ser igual a g de 0 pero cuánto es g de 0 a ver cuánto es que de cero cuando x es igual a cero cada uno de estos términos es igual a 0 g de 0 es 0 entonces esto es igual a 0 pero a ver el logaritmo natural de 1 también es igual a 0 entonces se tiene que ser igual a 0 y listo ya encontramos ag x lo único que tuvimos que hacer es encontrar la anti derivada de ambos lados de esta ecuación integrando sacando la anti derivada llegamos a esta ecuación y después evaluando la ecuación cuando x es igual a 0 encontramos que esta constante es cero y entonces sabemos que gdx es igual al logaritmo natural del valor absoluto de 1 - 2x es igual al logaritmo natural del valor absoluto de uno menos 2x ahora por otro lado si mantenemos esta restricción de que x tiene que estar en este intervalo entonces 1 menos 2 x siempre es un valor positivo y entonces no necesitamos estos símbolos del valor absoluto porque esto es positivo pero tampoco tenemos ningún problema en seguirlo escribiendo en fin ya terminamos utilizando la expresión que nos dieron encontramos cuál es la función correspondiente a esta serie y lo importante aquí lo que hicimos para lograr resolver este ejercicio fue darnos cuenta que la primera serie que nos dieron es la derivada de la segunda serie y entonces inmediatamente esta otra parte también es la derivada de esta serie y con esta expresión pudimos encontrar esta función lo único que hicimos fue tomar la anti derivada de ambos lados de esta ecuación tomamos la integral