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Transcripción del video

nos dicen que fx es igual a la serie infinita dn igual a uno hasta infinito de enemas 1 entre cuatro a la n más uno por ekiza la m y queremos encontrar la integral definida de 0 a 1 de fx con respecto a x y como siempre si se sienten inspirados y los invitó a que se inspiren pausa en el video y tratan de resolver esto por su cuenta o en cualquier momento pueden para usar el video y tratar de resolver esa parte por su cuenta vamos a reescribir esto esto es igual a la integral definida de 0 a 1 de esto y gdx es todo esto esta serie así que escribo la suma desde en iguala 1 hasta el infinito de enemas 1 entre cuatro a la n más uno por ekiza la n ii lo que voy a hacer a continuación quizá alguno de ustedes les parezca algo nuevo pero esto es esencialmente la integral definida de una suma de términos que es lo mismo que la suma de varias integrales definidas digamos que tengo está integral definida de 0 a 1 de gd x + hdx más otros términos con respecto x pues esto es lo mismo que tener la integral de 0 a 1 dgb x con respecto a x más la integral de 0 a 1 dh dx con respecto a x etcétera es igual a la suma de las integrales de todos los términos individuales esto viene directamente de las propiedades de las integrales así que vamos a aplicar esto mismo acá aunque aquí lo haremos con la anotación sigma esto va a ser igual a la suma desde que ns igual a uno hasta infinito de la integral definida de 0 a 1 de cada uno de estos términos lo escribimos la integral definida de 0 a 1 de enemas 1 entre cuatro a la n más uno por ekiza la n con respecto a x ahora tendremos la suma de cada una de las integrales de estos términos así que vamos a evaluar esto de aquí esto es igual esto es igual a la suma desde que en es igual a 1 hasta infinito vamos a ver tomamos la anti derivada de esto tendremos este término original n más uno entre cuatro a la n más uno ya que aquí no tenemos nada de x y para nuestra integral es una constante y aquí queremos incrementar el exponente y dividirlo entre este exponente con incremento es invertir la regla de la potencia así que tenemos x a la n más uno entre en el mazo no solamente tomamos la anti derivada de esto y vamos a ir de cero a uno para cada uno de estos términos y antes de hacer esto vamos a simplificar lo tenemos en el +1 aquí / n más uno acá que se cancelan y reescribimos esto como la suma desde que en es igual a 1 hasta el infinito y aquí cuando x es igual a uno tendremos uno a la n más sólo entre cuatro a la n más 1 - 0 a la n más uno entre cuatro a la n más uno podría comenzar a escribirlo pero esto es claramente cero así que no lo escribo y ahora nos está quedando algo bastante bonito y simple esto va a ser igual a la suma de que en es igual a 1 hasta infinito de un cuarto elevado a la enee +1 y pueden reconocer que esta es una serie geométrica infinita cuales el primer término aquí pues el primer término es cuando en es igual a 1 esto va a ser un cuarto elevado a la 1 massolo igualados un cuarto al cuadrado que es lo mismo que uno entre 16 este es nuestro primer término y nuestra proporción común va a hacer pues vamos a seguir multiplicando esto por un cuarto así que nuestra proporción como la aquí es un cuarto así que para una serie geométrica infinita en donde nuestra proporción común o su valor absoluto es menor aún no sabemos que esto va a converger y va a converger en el valor 1 entre 16 dividido entre 1 - la proporción común 1 - un cuarto aquí tenemos tres cuartos así que esto es igual a 1 entre 16 por cuatro tercios el 4 es uno el 16 4 y nos queda un doceavo y con esto terminamos al principio parecía bastante complicado pero simplemente dijimos bueno esto es la integral de una suma aunque sea una suma infinita y esto se da la suma de integrales infinitas tomamos la anti derivada de estas integrales infinitas lo que pudimos hacer gracias a los poderes de las matemáticas simbólicas y nos dimos cuenta que teníamos una serie geométrica infinita de la cual sabemos cómo encontrar suma y con esto terminamos
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