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Series harm贸nicas y series-饾憹

Las series-饾憹 son una familia de series en las que los t茅rminos son de la forma 1/(n岬) para alg煤n valor de 饾憹. Las series h谩rmonicas son el caso especial en que 饾憹=1. Estas series son muy interesantes y 煤tiles.

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Transcripci贸n del video

durante cientos de a帽os los matem谩ticos han estado fascinados por las sumas infinitas que llamamos series uno m谩s un medio m谩s un tercio m谩s un cuarto y seguimos sumando as铆 por siempre esto es interesante en varios aspectos y es algo que se presta para analizar con m谩s detalle uno entre uno m谩s uno entre dos m谩s uno entre tres cada uno de estos t茅rminos se vuelve m谩s y m谩s peque帽o se aproximan a cero pero cuando sumamos todos estos t茅rminos infinitos juntos obtenemos un n煤mero finito o diverge y no llega a un n煤mero finito esto tambi茅n aparece en la m煤sica y quiz谩 ese haya sido uno de los primeros motivos para estudiar estas series en donde tenemos una nota o frecuencia fundamental musical aunque el objetivo de este v铆deo no es ense帽ar m煤sica pero s铆 tenemos una nota fundamental que puede ser un do puro o algo as铆 aqu铆 les muestro solo una de sus longitudes de onda que contin煤a as铆 las arm贸nicas son las frecuencias que a nuestros o铆dos parece que refuerza en esa nota y lo que ocurre con las arm贸nicas es que tienen la mitad de la longitud de onda de la nota principal en este caso 2 y que lucen m谩s o menos as铆 esta es una arm贸nica de do y tiene la mitad de la longitud de onda noten que cuando termina su segunda forma de onda termina en el mismo punto que la nota principal y hay otra arm贸nica que tiene una tercera parte de la longitud de onda de do y otra arm贸nica con la cuarta parte de la longitud de onda de do y si vemos varios instrumentos musicales algo que nos parece que se escucha bien resulta que no s贸lo tocan la nota fundamental sino tambi茅n incluyen muchas arm贸nicas pero de cualquier forma este fue un ejemplo bastante largo para justificar porque a esto se le llama serie arm贸nica en un siguiente v铆deo demostraremos que aunque no quiero estropear la sorpresa esto realmente diverge y encontraremos reglas generales para saber si cosas que lucen as铆 convergen o divergen la serie arm贸nica en particular divergen que si escribimos esto en notaci贸n sigma lo har铆amos as铆 desde n igual a uno hasta infinito de 1 entre m otra cosa interesante es qu茅 pasar铆a si pusi茅ramos algunos exponentes aqu铆 ya comentamos que esto que escribo por ac谩 es la serie arm贸nica 1 entre 1 que es uno m谩s uno entre dos m谩s uno entre tres y as铆 sucesivamente pero qu茅 suceder铆a si elevamos cada uno de estos denominadores a la segunda potencia tendr铆amos algo que luce as铆 la suma desde que n es igual a 1 hasta infinito de 1 entre n a la segunda potencia ahora tendr铆amos 1 entre 1 a la segunda potencia que es 1 y que podemos escribir todo como 1 m谩s 1 / 2 al cuadrado que es un cuarto m谩s 1 entre 3 al cuadrado que es un noveno y seguimos as铆 hasta el infinito y podemos generalizar esto digamos que queremos una clase general de series que describimos como sigue desde n igual a 1 hasta infinito de 1 / n elevado a la potencia p donde puede ser cualquier exponente esto quedar铆a como 1 m谩s 1 / 2 a la p + 1 entre 3 a la p + 1 entre 4 a la p etc茅tera y p no tiene que ser un valor entero que podr铆a ser un medio en cuyo caso tendr铆amos 1 m谩s 1 entre la ra铆z cuadrada de 2 m谩s 1 entre la ra铆z cuadrada de 3 etc茅tera toda esta clase de series de la cual la serie arm贸nica es un caso especial en el que p es igual a 1 se conoce como serie es pep y no es dif铆cil de recordar que la p viene de la potencia a la que se elevan los denominadores aunque tambi茅n podr铆amos verlo como que se eleva toda la expresi贸n ya que 1 elevado a cualquier exponente siempre ser谩 igual a 1 pero ya les di a entender que quiz谩 algunas de estas convergen y otras divergen y vamos a demostrarlo en pr贸ximos v铆deos pero el principio general es que si p es mayor a 1 entonces la serie converge lo que tiene sentido porque significa que los t茅rminos van a disminuir suficientemente r谩pido porque mientras m谩s grande sea el exponente de ese denominador quiere decir que ese denominador crecer谩 m谩s r谩pidamente por lo que la fracci贸n se har谩 m谩s peque帽a m谩s r谩pido y si p es menor o igual a 1 y cuando p es igual a 1 tenemos la famosa serie arm贸nica tenemos una situaci贸n en la que la serie divergen y demostraremos esto en futuros v铆deos