Ejemplo resuelto: criterio de comparación directa

tomemos la serie infinita que suman los términos desde que n es igual a 1 hasta infinito y cuyos términos son 1 entre 2 a la n + n bueno entonces tenemos esta serie y queremos saber si converge o diverge y cómo te puedes imaginar dado el contexto en el que se encuentra este vídeo en la página de khan academy que vamos a intentar hacerlo con el criterio de comparación y en cualquier momento si en algún punto de este vídeo sientes que puedes tú terminar de resolver este ejercicio ponle pausa al vídeo y terminarlo tú en fin vamos paso a paso y bueno siempre que tenemos una serie para tener un poco de intuición acerca de cómo funciona esta serie es buena idea sustituir los primeros valores de n así es que vamos a ver el primer término de esta serie cuando n es igual a 1 es uno entre 2 a la 1 + 1 o sea o sea que el primer término es un tercio y el segundo término cuando n es igual a 2 es 1 / 2 a la 2 o sea 2 al cuadrado que es 4 + 2 426 o sea que tenemos aquí un sexto más el tercer término cuando n es igual a 31 entre 2 a la 32 a la 38 más 13 eso es 11 o sea 1 entre 11 y bueno vamos a hacer un último término el término 4 así es que me tiene que ser igual a 4 y tenemos 1 entre 2 a la 4 2 a la 4 es 16 más 4 tenemos 20 o sea que tenemos un veinteavo y bueno por aquí faltan un montón de términos de hecho falta una infinidad de términos pero bueno si observamos estos términos todos estos términos y cualquier término de estos cuando sustituyamos cualquier n en esta fórmula todos estos términos son mayores que 0 y al parecer cada término que sacamos es considerablemente más chico que el anterior como que esta serie si se está haciendo muy chiquita y pareciera que si convergen bueno si nos ponemos a analizar esta fórmula que nos da el valor de cada término de esta serie pues aquí en el denominador tenemos todos a la n + n y sabemos que 2 a la n crece muchísimo más rápido que m entonces a final de cuentas estos términos van a terminar comportándose muchísimo más como 1 entre 2 a la n iv eso nos da una pista de qué tipo de serie podemos utilizar para comparar con esta serie de aquí ok entonces vamos a poner por aquí la serie desde que en es igual a 1 hasta infinito de 1 entre 2 a la n iv bueno vamos a poner los primeros términos 1 entre 2 a la 1 es 1 / 2 más el segundo término es uno entre 4 + 1 entre 8 más 1 entre 2 a la 4 que es uno entre 16 y bueno también esto tiene una infinidad de términos y podríamos seguir y seguir y seguir poniendo términos pero lo interesante aquí es que podemos reconocer esta serie no o sea esta serie es una serie geométrica esto de aquí geométrica triká y bueno podríamos escribirlo de forma que sea más claro que esto es una serie geométrica podemos escribirlo como la suma desde que en es igual a 1 hasta infinito de 1 entre 2 elevado a la n iv lo que hemos visto acerca de las series geométricas es que si el valor absoluto de este número de aquí si el valor absoluto de un medio es menor que 1 lo cual si sucede entonces la serie geométrica esta serie zuma desde el 1 hasta infinito de 1 / 2 a la n converge con bergé porque el valor absoluto de un medio es menor que 1 y esta es una serie geométrica y bueno como es una serie geométrica de hecho hasta tenemos una fórmula que nos dice exactamente cuánto vale esta serie aunque entonces tenemos que esta serie convergen y tenemos que todos estos términos todos estos términos son mayores o iguales que 0 y bueno estos términos tienen un denominador más chico que estos términos por lo cual cada uno de estos términos es más grande que el término correspondiente de estos términos y se nota mucho en esto de aquí o sea un medio es más grande que un tercio y un cuarto es más grande que un sexto y un octavo también es más grande que un onceavo así es que cumplimos con todas las hipótesis del criterio de comparación vamos a ver por aquí tenemos esto es lo que habíamos escrito el criterio de comparación las hipótesis y las cumplimos todos los términos son mayores o iguales que cero y todos los términos de esta serie son mayores o iguales que los términos de esta serie así es que podríamos decir que en el criterio de comparación esta serie de aquí es la serie morada es la serie pequeña y esta otra serie de aquí es la serie grande ok bueno ya la había pintado de azul pero bueno el chiste es que como ésta es una serie geométrica sabemos que convergen que ésta converge con bergé y eso implica que esta serie de aquí que se queda atrapada entre el 0 y la serie grande que convergen entonces esta serie también converge con bergé