Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:4:55

Transcripción del video

tomemos la serie infinita que suman los términos de que en es igual a 1 hasta el infinito y cuyos términos son 1 / 2 o la n más m bueno entonces tenemos esta serie y queremos saber si con bergé o diverge y como te puedes imaginar dado el contexto en el que se encuentra este video en la página de khan academy que vamos a intentar hacerlo con el criterio de comparación y en cualquier momento si en algún punto de este vídeo sientes que puedes tú terminar de resolver este ejercicio pone pausa al vídeo y terminarlo tú en fin vamos paso a paso y bueno siempre que tenemos una serie para tener un poco de intuición acerca de cómo funciona esta serie es buena idea sustituir los primeros valores de n así es que vamos a ver el primer término de esta serie cuando en es igual a 1 1 entre 2 a la 1 más 1 ósea o sea que el primer término es un tercio y el segundo término cuando en es igual a 21 entre dos aliados o sea 2 al cuadrado que es 4 +24 +26 sea que tenemos aquí sexto más el tercer término cuando en es igual a 31 entre dos a la 32 a 38 más un 3 eso es 11 o sea 1 entre 11 y bueno vamos a hacer un último término el término 4 así es que en él tiene que ser igual a 4 y tenemos uno entre 2 a 4 2 a las 4 16 más 4 tenemos 20 o sea que tenemos un veinteavo y bueno ahora que faltan un montón de término de hecho falta una infinidad de término pero bueno si observamos estos término todos estos términos y cualquier término de éstos cuando sustituyamos cualquier n en esta fórmula todos estos términos son mayores que 0 y al parecer cada término que sacamos es considerablemente más chico que el anterior como que estas series y se está haciendo muy chiquita y pareciera que si comer g bueno si nos ponemos a analizar esta fórmula que nos da el valor de cada término de esta serie pues aquí en el denominador tenemos todos a la n más n y sabemos que dos a la n crece muchísimo más rápido que me entonces a final de cuenta estos términos van a terminar comportándose muchísimo más como uno entre dos a la n y eso nos da una pista de qué tipo de serie podemos utilizar para comparar con esta serie de aquí a entonces vamos a poner por aquí la serie desde que en es igual a 1 hasta el infinito de 1 / 2 a la n-ii bueno vamos a poner los primeros términos 1 / 2 a la 1 es uno entre dos meses el segundo término es uno entre cuatro meses uno entre 8 +1 entre dos a la 4 que es uno entre 16 y bueno también esto tiene una infinidad de términos y podríamos seguir y seguir y seguir poniendo término pero lo interesante aquí es que podemos reconocer esta serie no o sea esta serie es una serie geométrica esto de aquí una serie geométrica me rica y bueno podríamos escribir lo de forma que sea más claro que esto es una serie geométrica podemos escribir lo como la suma de que en es igual a 1 hasta el infinito de 1 / 2 elevado a la n y lo que hemos visto acerca de las series geométricas es que si el valor absoluto de este número de aquí si el valor absoluto de un medio es menor que uno lo cual si su cb entonces la serie geométrica esta serie las ume desde en iguala 1 hasta el infinito de 1 / 2 alain con bg con bergé porque el valor absoluto de un medio es menor que 1 y esta es una serie geométrica y bueno como es una serie geométrica de hecho tenemos una fórmula que nos dice exactamente cuánto vale esta serie aunque hay entonces tenemos que esta serie con bergé y tenemos que todos estos términos todos estos términos son mayores o iguales que 0 y bueno estos términos tienen un denominador más chico que estos términos por lo cual cada uno de estos términos es más grande que el término correspondiente de estos términos y se nota mucho en esto de aquí o sea un medio es más grande que un tercio y un cuarto es más grande que un sexto y un octavo también es más grande que un 11 ago así es que cumplimos con todas las hipótesis del criterio de comparación vamos a ver por aquí tenemos esto es lo que habíamos escrito el criterio de comparación las hipótesis y las cumplimos todos los términos son mayores o iguales que cero y todos los términos de esta serie son mayores o iguales que los términos de esta serie así es que podríamos decir que en el criterio de comparación esta serie de aquí es la serie morada es la serie pequeña y esta otra serie de aquí es la serie grande y bueno ya lo había pintado de azul pero bueno el chiste es que como esta es una serie geométrica sabemos qué comer g está convergen con bergé y eso implica que esta serie de aquí que se queda atrapada entre el 0 y la serie grande que convergen entonces esta serie también convergen g con bergé
AP® es una marca registrada de College Board, que no ha revisado este recurso.