Ejemplo resuelto: criterio de comparación por medio de límites

nos dan una serie y nos preguntan qué serie deberíamos usar en el criterio de comparación del límite déjame subrayó esa parte criterio de comparación del límite para determinar si la serie converge y aquí vamos a empezar recordando qué es lo que nos dice el criterio de comparación del límite así es que vamos a empezar recordando el criterio de comparación del límite el cual nos dice que si tenemos dos series y voy a usar esta anotación esta es una serie esta es la otra serie estas son las dos series y además sabemos que todas las a n y las b n son mayores o iguales a 0 y esto sucede para todas las en es ya que sabemos todo esto acerca de estas dos series lo que nos dice el criterio de comparación del límite es que si él límite cuando n tiende a infinito de a n / b n es igual a c donde por cierto se es positivo eso lo que significa es que 0 es menor que se dice es menor que infinito si sucede esto entonces entonces ambas series convergen ambas series convergen ambas series divergen ambas series divergen y esto tiene bastante sentido porque si tenemos estas dos series y estamos diciendo por aquí que conforme tomamos valores de n más grandes conforme nos alejamos y tomamos términos de esta serie cada vez más lejanos si esos términos se parecen cada vez más entonces tiene sentido que ambas series convergen o ambas series divergen y esto lo vemos muy bien en un vídeo anterior acerca del criterio de la comparación del límite pero bueno si por aquí decimos que esta es la a sub n entonces cuál de estas series podemos utilizar para determinar si esta serie converge o no bueno pues vamos a ver esta serie no se ve acotada está por acá no se ve tan parecida es cierto tiene el mismo denominador tiene tres a la n 1 pero el numerador no se comporta de la misma forma ahora está por acá se ve bastante interesante porque esta la podemos escribir como la suma desde que n es igual a 1 hasta infinito de 2 a la n entre 3 a la n esta es una serie muy parecida a ésta y estas series son muy parecidas la única diferencia es que en esta en el denominador tenemos este menos 1 y aquí en este denominador no tenemos ese menos 1 entonces tiene sentido pensar que estas dos series se comportan de la misma forma sobre todo porque esta es una constante entonces vamos a ver si si en serio se comportan de la misma forma lo que necesitamos es encontrar el límite cuando n tiende a infinito y por cierto sabemos que tanto esta serie como esta serie sus términos son mayores que 0 tanto para uno como para dos tres y todos los valores que puede tomar en este término es mayor que cero y lo mismo sucede con esta serie para todos los valores que puede tomar n este término es mayor que cero así es que estas dos series si cumplen con las condiciones iniciales y ahora sí vamos a ver si se cumple que este límite sea igual a un valor que sea mayor que cero y menor que infinito entonces vamos a colocar por aquí el término a n que es este 2 a la n entre 3 a la n 1 y lo dividimos entre el término b n 2 a la n entre 3 a la n iv para resolver este límite primero vamos a hacer una manipulación algebraica por acá esto es 2 a la n entre 3 a la n 1 3 a la n entre 2 a la n dividimos el numerador y el denominador entre 2 a la n iv lo que nos queda es 3 a la n entre 3 a la n 1 podemos dividir el numerador y el denominador entre 3 a la n iv nos queda 1 entre 1 - 1 entre 3 a la n por lo que este límite es igual al límite cuando n tiende a infinito de 1 entre 1 - 1 entre 3 a la n iv este límite a que es igual bueno pues cuando n tiende a infinito este término de aquí se va a 0 por lo que este límite cuando n tiende a infinito es igual a 1 y 1 definitivamente es mayor que 0 y menor que infinito por lo que el criterio de comparación del límite nos dice que el destino de estas dos series está ligado a ambas convergen o ambas divergen así es que esta es una serie con la que podemos utilizar el criterio de comparación del límite con esta otra serie y ahora pensemos en si ambas series convergen o divergen a ver analicemos esta serie converge o diverge bueno pues es una serie geométrica cuya razón dos tercios es menor que 1 entonces esta serie definitivamente converge y como esta serie converge el criterio de comparación del límite nos dice que nuestra serie original también converge así es que ese converge converge y listo terminamos