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Transcripción del video

vamos a analizar otra prueba de convergencia que es la prueba de series alternantes y voy a ir explicando esta prueba al mismo tiempo que la aplico a una serie real para que la explicación de esta prueba sea un poco más concreta tenemos esta serie infinita que va desde n igual acá hasta infinito de atsur n podemos definir a sub n como menos 1 a la n por b sub n o la podemos definir a sub n como menos 1 a la n 1 por b sub n donde ve su n es mayor o igual a 0 para todas las en es que nos interesan es decir para todos los enteros que sean iguales o mayores acá todo esto se cumple y además conocemos estas dos cosas el límite cuando n tiende a infinito debe psuv n es igual a 0 y que b sub n es una sucesión decreciente lo que nos dice que la serie infinita original converge esto puede parecer algo abstracto así que vamos a aplicar esto con una serie real para que nos quede más claro tenemos la serie que va desde n igual a 1 hasta de menos 1 a la n 1 / n podemos desarrollar esta serie para que sea más clara para n igual a 1 esto es menos 1 al cuadrado entre 1 que es igual a 1 para n igualados esto es menos 1 a la tercera potencia entre 2 que es menos un medio más un tercio menos un cuarto y continúa así hasta la eternidad podemos reescribir esta suv n de esta forma claro que sí de hecho aquí está el menos 1 a la n 1 de forma explícita podemos reescribir ésta a su vez n que es menos 1 a la n 1 entre n como menos 1 a la n 1 por 1 entre n y podemos decir que esta parte es bs n podemos verificar que esta vez sub n es mayor o igual a 0 para todos los valores de n que nos interesan b sub n será igual o mayor a 0 para cualquier n positiva cuál es el límite debe suben cuando n tiende a infinito límite de 1 / n cuando n tiende a infinito es igual a 0 se satisface la primera restricción y vemos que esta es una sucesión decreciente pues conforme n incrementa el denominador incrementa y si hay un denominador más grande el valor de la división va a disminuir por lo que podemos afirmar que uno entre n es una sucesión decreciente para los valores de n que nos interesan esto satisface la segunda restricción con base en que ve sub n es mayor o igual a 0 su límite cuando n tiende a infinito es 0 y eso también es una sucesión decreciente entonces podemos afirmar que la serie original converge la escribimos la suma desde n igual a 1 hasta infinito de menos 1 a la n 1 entre n esto es interesante porque ya vimos que si todos estos términos fueran positivos tendríamos la serie armónica la cual no convergen pero estas series y converge debido a estos términos negativos de hecho podemos demostrar que esta serie converge aplicando otras técnicas en particular la prueba de comparación de límites mencionó esto en curiosidad de investigar más al respecto esta es una herramienta poderosa que se parece un poco a la prueba de divergencia pero recuerden que la prueba de divergencia sólo sirve si queremos demostrar que una serie es divergente si el límite de los términos no se aproxima a cero entonces esa serie va a divergir esto es útil porque demuestra convergencia y de nuevo si algo no pasa la prueba de alternancia no significa necesariamente que es divergente simplemente significa que no podemos usar la prueba de alternancia para demostrar que convergen nos vemos en el siguiente vídeo
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