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Definición formal del límite de una sucesión

Una sucesión es "convergente" si sus términos se acercan a algún valor en el infinito. En este video hay una definición más formal de lo que significa que una sucesión converja. Creado por Sal Khan.

Transcripción del video

lo que quiero ver en este vídeo es proporcionarles una definición formal sobre qué significa tomarme el límite de una sucesión cuando n tiende a infinito que por cierto esta forma de definir este límite es muy parecida a la forma de definirla a cualquier función su límite cuando tiene infinito y esto tiene toda la lógica del mundo porque podemos ver a las sucesiones como una función que depende de los índices pero bueno vamos a graficar aquí a una sucesión que por cierto no es pérez pero déjeme quitar esta línea de aquí y mejora voy a poner por acá para que veamos a qué me refiero cuando el límite de una sucesión cuando n tiende a infinito tiendan a un valor entonces vamos a suponer que éste es igual a 1 ya que me da aún a 1 estás en igualados ya que me da un a 2 a subíndice 2 en igualdad 3 me da un a sub 20 3 aquí tengo un n igual a 4 aquí un subíndice 4 y aquí un n igual a 5 con su respectivo al subíndice 5 y bueno si te das cuenta esta sucesión parece que tiende a un cierto valor que voy a definir por aquí esta sucesión está saltando pero a su vez está acercándose y acercándose y acercándose a un cierto valor por aquí que voy a llamar él entonces aquí tengo mis nn uno dos tres cuatro cinco aquí tengo mi guel que es mi valor al cual se está acercando esta asociación y si yo quiero definir de una manera formal que mi sucesión n se va acercando al valor de l cuando entiendo infinito entonces mi definición formal de este límite sería sí para toda épsilon mayor que cero tú puedes encontrar o tú me puedes dar a un nuevo espera espera porque esto no suena tan elegante mejor lo voy a poner de la siguiente manera si para toda épsilon mayor que cero existe una n positiva existe una m positiva tal que pase lo siguiente si tomamos cualquier en el más grande que m no olvides que n es el subíndice que existen los naturales si tomamos cualquier n más grande que m entonces la diferencia entre a n l el valor al que nos vamos a acercar en valor absoluto es menor que epsilon a ver a ver a ver vamos a decirle otra vez si para toda épsilon mayor que 0 existe m positiva tal que si tomamos cualquier n más grande que m entonces el valor absoluto de la n menos él es menor que pilón justo en este caso si esto pasa entonces decimos que el límite de a n cuando n tiende a infinito es igual a l o como vimos en el vídeo pasado esto es exactamente lo mismo que decir que a n convergen a l la sucesión a en él convergen al valor de l y bueno como esto es una definición es un sí sólos y aquí tenemos la declaración sobre a qué me refiero cuando digo que la asociación a n convergen a l y bueno de nada sirve tener aquí esta declaración de nada sirve tener aquí esta definición si no entendemos a qué me refiero cuando esta definición así que vamos a intentar entender mejor que me está diciendo todo esto imagínate que yo tengo una cierta épsilon más grande que 0 y por lo tanto aquí l más épsilon de aquí l épsilon lo que sí le estoy pidiendo a épsilon es que sea más grande que 0 y bueno me estoy tomando aquí a una épsilon arbitraria y entonces sí para todas épsilon arbitraria existe una m positiva ahora bien si para esta eps ido en medio que 0 encuentro una m positiva así que en este caso voy a decir que este es mi valor de m me voy a tomar m igualados ahora dice si para esta épsilon positiva encuentro una m positiva tal que para todos los valores más grandes que m es decir para cualquier en el más grande que m n puede ser 3 456 etcétera sí para estos valores yo me fijo en la distancia que hay de aena l esto es esencialmente lo que está diciendo esto si en este rango verde entra la distancia que hay de aa n aire es decir que si a partir de ahorita todos los puntos caen dentro de este rango esto es lo que quiere decir que sea menor que épsilon si la distancia que hay dehaene a él es menor que epsilon entonces mi sucesión con bergia l y de hecho aquí lo podemos ver visualmente porque para toda n mayor que 2 fíjate que los puntos se van acercando y acercando y acercando a él es decir que esta distancia está haciendo cada vez más delgada justo por eso pedimos que usted para toda épsilon y si esto pasa entonces este límite existe y la sucesión a en en convergen a él y justo lo que quiero ver en el siguiente vídeo es utilizar esta definición para ver que una sucesión converge