Definición formal del límite de una sucesión

lo que quiero ver en este vídeo es proporcionarles una definición formal sobre qué significa tomarme el límite de una sucesión cuando n tiende a infinito que por cierto esta forma de definir este límite es muy parecida a la forma de definirla a cualquier función su límite cuando tiene infinito y esto tiene toda la lógica del mundo porque podemos ver a las sucesiones como una función que depende de los índices pero bueno vamos a graficar aquí a una sucesión que por cierto no es pérez pero déjeme quitar esta línea de aquí y mejora voy a poner por acá para que veamos a qué me refiero cuando el límite de una sucesión cuando n tiende a infinito tiendan a un valor entonces vamos a suponer que éste es igual a 1 ya que me da aún a 1 estás en igualados ya que me da un a 2 a subíndice 2 en igualdad 3 me da un a sub 20 3 aquí tengo un n igual a 4 aquí un subíndice 4 y aquí un n igual a 5 con su respectivo al subíndice 5 y bueno si te das cuenta esta sucesión parece que tiende a un cierto valor que voy a definir por aquí esta sucesión está saltando pero a su vez está acercándose y acercándose y acercándose a un cierto valor por aquí que voy a llamar él entonces aquí tengo mis nn uno dos tres cuatro cinco aquí tengo mi guel que es mi valor al cual se está acercando esta asociación y si yo quiero definir de una manera formal que mi sucesión n se va acercando al valor de l cuando entiendo infinito entonces mi definición formal de este límite sería sí para toda épsilon mayor que cero tú puedes encontrar o tú me puedes dar a un nuevo espera espera porque esto no suena tan elegante mejor lo voy a poner de la siguiente manera si para toda épsilon mayor que cero existe una n positiva existe una m positiva tal que pase lo siguiente si tomamos cualquier en el más grande que m no olvides que n es el subíndice que existen los naturales si tomamos cualquier n más grande que m entonces la diferencia entre a n l el valor al que nos vamos a acercar en valor absoluto es menor que epsilon a ver a ver a ver vamos a decirle otra vez si para toda épsilon mayor que 0 existe m positiva tal que si tomamos cualquier n más grande que m entonces el valor absoluto de la n menos él es menor que pilón justo en este caso si esto pasa entonces decimos que el límite de a n cuando n tiende a infinito es igual a l o como vimos en el vídeo pasado esto es exactamente lo mismo que decir que a n convergen a l la sucesión a en él convergen al valor de l y bueno como esto es una definición es un sí sólos y aquí tenemos la declaración sobre a qué me refiero cuando digo que la asociación a n convergen a l y bueno de nada sirve tener aquí esta declaración de nada sirve tener aquí esta definición si no entendemos a qué me refiero cuando esta definición así que vamos a intentar entender mejor que me está diciendo todo esto imagínate que yo tengo una cierta épsilon más grande que 0 y por lo tanto aquí l más épsilon de aquí l épsilon lo que sí le estoy pidiendo a épsilon es que sea más grande que 0 y bueno me estoy tomando aquí a una épsilon arbitraria y entonces sí para todas épsilon arbitraria existe una m positiva ahora bien si para esta eps ido en medio que 0 encuentro una m positiva así que en este caso voy a decir que este es mi valor de m me voy a tomar m igualados ahora dice si para esta épsilon positiva encuentro una m positiva tal que para todos los valores más grandes que m es decir para cualquier en el más grande que m n puede ser 3 456 etcétera sí para estos valores yo me fijo en la distancia que hay de aena l esto es esencialmente lo que está diciendo esto si en este rango verde entra la distancia que hay de aa n aire es decir que si a partir de ahorita todos los puntos caen dentro de este rango esto es lo que quiere decir que sea menor que épsilon si la distancia que hay dehaene a él es menor que epsilon entonces mi sucesión con bergia l y de hecho aquí lo podemos ver visualmente porque para toda n mayor que 2 fíjate que los puntos se van acercando y acercando y acercando a él es decir que esta distancia está haciendo cada vez más delgada justo por eso pedimos que usted para toda épsilon y si esto pasa entonces este límite existe y la sucesión a en en convergen a él y justo lo que quiero ver en el siguiente vídeo es utilizar esta definición para ver que una sucesión converge