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Intuición acerca de la fórmula para una serie geométrica infinita

Transcripción del video

lo que quiero hacer es otra especie de demostración para calcular la suma de una serie geométrica infinita y usaremos una idea similar como cuando calculamos la suma de una serie geométrica pero finita así que digamos que yo quiero calcular esta suma la suma y vamos a empezar desde acá igual a cero hasta infinito de de nuestro término inicial que es a por nuestra proporción común elevado a la ca muy bien esta es una serie geométrica infinita y este valor a este valor vamos a llamarle ese es su infinito muy bien estamos calculando la suma para una infinidad de términos muy bien entonces esto quienes esto sí sí lo vamos desarrollando pues será a por rr al acero bien sería a por rr elevado al acero más ahora que pasa cuando caes igual aún no tendremos a por rr elevado a la uno más digamos a por r ahora elevado al cuadrado y así podemos ir sumando todos estos términos de forma consecutiva aquí se iría a por ere al cubo massa por era la cuarta y así sucesivamente hasta el infinito muy bien entonces aquí es en donde vamos a utilizar una técnica parecida al caso finito multiplicamos ese infinito por r ok por nuestra proporción común y eso fue lo que hicimos en el caso finito verdad hacemos r por ese su infinito muy bien y esto que nos da por por supuesto esto es una especie de demostración cuando cuando nosotros jugamos con el infinito hay que hay que tener un mucho cuidado hay que pensar un poco más profundo porque podemos estar haciendo cosas que no son necesariamente válidas pero en este caso si multiplicamos por rr este término nos queda a por rr elevado ahora la 1 más y más a por rr elevada al cuadrado al cuadrado más a por rr a por rr elevado al cubo y así sucesivamente verdad estamos simplemente elevando a un exponente mayor cada cada término de esta suma muy bien entonces si nosotros respetamos si nosotros estamos es decir si tenemos ese infinito - r por ese infinito verdad es decir estamos el de arriba con el de abajo esto que nos da bueno pues lo que tenemos que observar es que a poder real a cero se sobrevive no se cancela y eso simplemente es a pero ahora a por él a la 1 se cancela con este de aquí a poder real a 12 cancela con este de aquí a por él a 3 se cancelará y así sucesivamente todos estos se cancelan hasta el infinito verdad todos esos se van a cancelar ok entonces simplemente nos quedó que esta diferencia es igual a a muy bien sin embargo lo que podemos hacer aquí es factorizar ese infinito y si nosotros factor izamos ese infinito nos queda es infinito que multiplica a 1 - rr y esto debe ser igual a muy bien entonces como nosotros realmente queríamos calcular quién es ese infinito entonces basta pasar dividiendo a 1 - r y aquí hay que tener cuidado verdad hay que tener cuidado siempre ubs vamos a dejarlo en los mismos colores tendremos ese infinito será igual a a entre entre 1 - rr y el cuidado que hay que tener es que para poder dividir r no puede ser uno no puede ser uno muy bien entonces ahora ya tenemos el valor de la suma de esta serie geométrica infinita y eso es algo que a mí me parece sorprendente es increíble pensar como una suma infinita de de números puede dar un resultado finito verdad y por supuesto aquí como les decía hay que tener mucho cuidado con con todas las restricciones que estamos y y/o que el mismo problema nos impone muy bien entonces vamos a haber un ejemplo digamos que nuestro término iniciales 5 y nuestra proporción común rs tres quintos entonces si multiplicamos cinco por tres quintos nos queda simplemente 3 si multiplicamos por tres quintos nos queda 3 x 39 y dividido entre 5 si multiplicamos por tres quintos nos quedan nueve por tres son 27 entre 5 x 5 que son 25 si volvemos a multiplicar por tres quintos nos da tres por 27 son 81 entre 125 que es 5 por 25 verdad y así podemos seguirnos entonces esta es una serie geométrica infinita y aquí nuestra proporción común cumple que es más chica que uno entonces este resultado vamos a utilizarlo a es nuestro término inicial que 5 entonces esta serie geométrica vale 5 entre 1 - la proporción común que son tres quintos entonces esto simplemente será esto será 5 entre 1 - tres quintos son dos quintos y esto es lo mismo que cinco por cinco medios entonces son 25 medios esto es esto es exactamente 12.5 entonces esto es lo maravilloso de las series geométricas como pueden dar resultados finitos a partir de cosas infinitas y recordemos que todo esto funciona siempre y cuando nuestra proporción común cumple que su valor absoluto es menor que 1 ahora por qué porque tiene que pasar esto porque cada uno de estos términos tiene que irse haciendo cada vez más y más chico porque si se hacen muy grandes esto se va a disparar hacia el infinito se hace muy muy grande entonces necesitamos que él valora fruto de nuestra proporción común sea más chico que uno de hecho no puede ver que ya hay problemas cuando eres igual a 1 verdad esta fórmula ya no tiene sentido porque estaríamos viviendo dividiendo entre cero y eso no tiene sentido sin embargo cierre fuera un no tendríamos aquí a más a por uno que es a massa por una cuadrado que es a entonces estaríamos sumando muchas muchas muchas muchas az muy bien entonces si sumamos muchas pues esto claramente no no con bergé se hace un número cada vez más y más grande ok sí por el sí por el contrario fuera menos uno por ejemplo aquí tendríamos a menos a más a menos a más a menos a y entonces esto es un valor que va o oscilando y no con bergé verdad va entre renovaba oscilando de esta forma aunque entonces para era igual a uno y era igual a menos uno no tiene sentido así que sólo nos podemos quedar con las proporciones comunes que tienen valor absoluto menor que uno lo que es lo mismo esto esto es otra forma de decir esto es que menos uno es menor que erre y es menor que 1 para estos valores la serie geométrica sí con bergé
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