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Demostración de la fórmula para series aritméticas infinitas como un límite

Transcripción del video

en el vídeo anterior deducimos la fórmula para la suma de una serie geométrica finita verdad y que aquí estoy o aquí escribí antes de empezar el vídeo donde a es nuestro primer término y r es la proporción común ahora lo que quiero hacer en este vídeo es pensar en algo que es realmente impactante es muy impresionante y es pensar en una serie geométrica pero infinita ok entonces esto yo creo que es impresionante porque una suma infinita nos puede dar algo finito dependiendo de cómo sea nuestra proporción común y hay varias formas de pensarlo la primera es pensar que esto en realidad es el límite límite si queremos pensar como una serie infinita podemos pensar que es el límite cuando n tiende a infinito n tiende a infinito de esto que tenemos acá arriba la suma desde que acá vale cero hasta n de a por ere a la k muy bien entonces estamos calculando la misma serie geométrica pero ahora estamos permitiendo que la n crezca y crezca y crezca tanto como nosotros queramos muy bien entonces esto como es una igualdad será igual al límite al límite cuando n n si estamos jugando con la n cuando n tiende a infinito de esta fórmula que ya teníamos acá arriba a menos a por ere a la n 1 muy bien todo esto dividido entre 1 - r y ahí lo tienen entonces sólo tenemos que pensar cuánto vale este límite y te invito a que hagas una pausa y que pienses cuánto va a valer esto y te voy a dar una sugerencia piensa para las las erres o o más bien piensa qué pasa para cuando el valor absoluto de r nuestra proporción común es más grande que uno piensa cuando vale exactamente 1 y qué pasa cuando es más chico que 1 ok piensa cuando tenemos esos tres casos del valor absoluto de r ok entonces voy a suponer que ya hiciste una pausa ya lo pensaste ahora vamos a hacerlo todos juntos bueno primero que pasa si el valor absoluto de r si el valor absoluto de r es mayor que 1 en este caso este término que tenemos aquí a ponerle a la n 1 va a tener un valor absoluto que va creciendo cada vez más a medida que n va creciendo entonces este numerador va a tener digamos un valor absoluto muy muy muy muy grande y si tiene un valor absoluto muy muy grande entonces este límite es infinito entonces no nos dice mucho la fórmula que pasa si el valor absoluto es igual a 1 igual a 1 si tenemos que esto vale igual a 1 entonces fíjate que de aquí que esto que es el denon el denominador es un cero y eso ya tampoco tiene sentido porque estamos dividiendo entre cero y eso no se puede así que vamos a pensar el caso en que es realmente interesante da mucha información de cómo se comporta esta serie y es cuando el valor absoluto de r es más chico que 1 y por supuesto tiene que ser mayor que 0 porque dijimos que r no podía ser 0 muy bien entonces regresemos a este término este término o bueno pensemos sólo en este cierre tiene un valor absoluto más chico que 1 y más grande que 0 entonces a medida que vamos elevando a las potencias n más uno y vamos haciendo que la n sea cada vez más grande y más grande entonces éste va a tener un valor absoluto cada vez más pequeño piensa por ejemplo en un medio cuando elevamos al cuadrado se vuelve un cuarto cuando elevamos al cubo se vuelve un octavo ahora piensa que estamos elevando a la c un medio a la 100 o un medio al 1.000.000 o al a un billón entonces esto de aquí este término a por r a la n 1 en realidad tiende a cero cuando metemos ya este límite cuando hacemos cuando n tiende a infinito entonces cuál es el resultado si esto se hace cero simplemente nos queda a entre 1 - cr 1 - ser muy bien entonces piensa ahora vamos a hacer un ejemplo que tal que tenemos uno más un tercio más un tercio al cuadrado más un tercio al cubo y así sumamos todas las potencias de un tercio muy bien entonces por supuesto aquí tenemos una proporción común más chica que uno entonces podemos aplicar esta fórmula muy bien y esto sería exactamente el primer término que es uno sería uno entre uno menos la proporción común si vamos a ponerlo en verde 1 - la proporción común que es un tercio y esto simplemente nos queda 1 entre 1 menos un tercio son dos tercios y uno entre dos uno entre dos tercios es tres medios entonces tuvimos una suma infinita y a pesar de eso lo que tenemos es que el valor de esa suma es finito
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