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Prueba de que una serie converge con el uso de la definición formal

Transcripción del video

en este vídeo quiero utilizar todo lo que aprendimos en el vídeo pasado para probar que esta sucesión converge al 0 es decir que el límite cuando n tiende a infinito de esta sucesión que habíamos construido de menos 1 elevado a la n 1 entre n cuando entiende infinito este límite es igual a 0 y para esto voy a utilizar justo lo que vi en el vídeo pasado pero antes de recordar la definición de que justo esto pase pues quiero que veas que eso tiene todo el sentido lógico del mundo yo me tomo esta expresión date cuenta que la parte de arriba lo que está haciendo es dando unos valores positivos negativos positivos negativos mientras que la parte de abajo se hace cada vez más grande por lo tanto intuitivamente esta expresión se va a cero pero vamos a recordar lo que vimos en el vídeo pasado en el vídeo pasado vimos esta definición dice si para toda épsilon más grande que 0 existe una m más grande que 0 tal que si n es más grande que m si tomamos una n más grande que m entonces el valor absoluto n l es menor que epsilon pero en este caso el l va a ser cero porque es justo donde quiero converger entonces si tomamos cualquier n más grande que m entonces a n menos cero en valor absoluto es menor que epsilon entonces decimos que el límite de esta sucesión es igual a cero que esta sucesión convergen en cero y justo aquí está en el valor de cero y lo que quiero es que te des cuenta de que es lo que me está diciendo esta definición vamos a tomarnos una épsilon positiva vamos a suponer que esta es mi eps la positiva y déjeme hacerlo un poco más congruente mi dibujo vamos a poner aquí a esta épsilon y por lo tanto aquí tengo cero menos sección aquí tengo cero más opción recuerda que cero es justo este valor al que yo quiero converger y vamos a analizar lo que me dice esta oración si para toda épsilon mayor que cero existe m mayor que cero tal que si tomamos una n más grande que m entonces pasa esto justo lo que me está diciendo es que si yo me tomo una m más grande que 0 vamos a suponer que está m es 2 entonces para todos los valores más grandes que 2 ya que hay de la solución al cero tiene que ser menor que épsilon es decir todos los puntos a partir del 2 tienen que caer en este rango pero esto es para toda épsilon entonces dada a una eps i l'ombre tengo que encontrar una m de tal manera que todos los puntos a partir de esa m caigan en ese rango pero bueno qué es lo que necesito para que esta expresión que tengo aquí sea verdad que por cierto es justo lo que quiero que se cumpla esta expresión es decir que el valor absoluto dehaene menos 0 esto sea menor que épsilon y bueno a n menos cero pues es justo lo mismo que tomando el valor absoluto de a n yo lo que quiero es que el valor absoluto de ã n sea menor que epsilon y que es necesario para que se cumpla esto bueno a n es lo mismo que menos 1 elevado a la n 1 entre no el valor absoluto de esto es justo lo que quiero que sea menor que epsilon ahora bien date cuenta que no es expresión pasa algo importante menos 1 elevado a la n 1 es esencialmente tomar dos valores menos 1 y 1 y después de que me tomo el valor absoluto de menos 1 y de 1 esto me da 1 por lo tanto esto lo que decir que es lo que necesito es tomarme el valor absoluto de 1 entre n y que esto sea menor que épsilon sin embargo n siempre es positiva porque en esta definidas los naturales por lo tanto el valor absoluto de 1 entre en es lo mismo que 1 entre n entonces yo lo que necesito es que uno entre n sea menor que epsilon y ahora si me tomo un recíproco de ambos lados de esta desigualdad la desigualdad se voltea es decir que yo lo que quiero es que n sea más grande que el recíproco de épsilon el recíproco de épsilon es uno entre épsilon es decir que esta es justa mi condición necesaria que n sea más grande que uno entre épsilon y bueno esto ya lo hemos probado varias veces y de hecho lo podemos probar justo ahorita yo lo que quiero es que en él sea más grande que uno entre épsilon esto ya es un gran paso porque fíjate bien si tú me das cualquier épsilon yo voy a bautizar a m como 1 / épsilon y por lo tanto si yo me fijo en todas las sedes que son más grandes que m entonces todos los puntos van a caer en esta región y yo lo que quiero es que para toda n más grande que m pero m es igual a 1 entre épsilon entonces n va a ser más grande que / épsilon se cumpla que el valor absoluto de n 0 sea menor que épsilon que justo es lo que pasan dado como acabo de construir todo esto siempre que se cumpla que n sea más grande que uno entre épsilon entonces va a pasar que a en menos 0 un valor absoluto va a ser menor que épsilon y justo esto es lo que quiero para que existe el límite así que imagínate que en este ejemplo si yo me tomo que épsilon es igual a un medio entonces él me tiene que ser igual a 2 es decir el recíproco de un medio en més igualados y date cuenta que a partir del 2 para cualquier n más grande que 2 todos estos puntos van a existir en esta región o dicho otra manera la distancia que hay de estos puntos al 0 va a ser menor que épsilon y fíjate que si se cumple ahora bien si tú quisieras para otra épsilon tú dame esta épsilon y yo voy a hacer a m igual a 1 entre épsilon y entonces para cualquier n que sea más grande que m se va a cumplir que los puntos de la sucesión van a caer en esa región y esto es justo lo que acabamos de probar que si funciona este límite y que entonces esta sucesión con bergé al c
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