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Prueba del criterio de convergencia de las series-p

Transcripción del video

quiero que observe lo que tenemos aquí de color anaranjado si observas estas mates serie es decir la suma desde unos e infinito de 1 / n elevado la pep y lo que vamos a hacer en este vídeo es pensar acerca de las condiciones es decir para que pese a esta pesquería va a converger y para que sea una pecera por definición tiene que ser mayor que cero así que he puesto por la cam estas gráficas para pensar un poco en cómo vamos a ver cuando esta pc de converger entonces en esta primera gráfica observan tenemos la curva es la curva ye igual a 1 / x o la pgjem y estamos diciendo en términos generales ya que pepe es mayor que 0 que sabemos que va a ser una función de creciente como en esta otra segunda gráfica donde una vez más aquí tenemos quien igual a 1 / x elevado la pena y ahora lo que hemos sembrado de color blanco debajo de la curva y sobre el eje x positivo es la integral en propia desde uno hasta el infinito de 1 / x alape de x así que esta área fue lo que sobramos antes de empezar el video en ambas gráficas bien ahora lo que tenemos aquí visualmente ejerciste una convergencia divergencia muy estrecha entre esta pesquería empieza integral que tenemos aquí ya que cuando vemos esta gráfica de la izquierda podemos ver que esta pecera puede ser vista como una aproximación de riman por arriba de esa área a qué me refiero con eso bien piensen en el área de este primer rectángulo el ancho es de 1 en la altura es de uno entre 1 11 pm ya que éste es el primer término de esta feria entonces ese rectángulo sólo tendría un área de 1 o las escalas de x téllez no son las mismas ahora observa el segundo rectángulo el área de este segundo rectángulo serían 1 / 2 elevado la pgjem el área del siguiente es de uno entre 3 elevado la pena y así sigue entonces la suma de estas áreas de los rectángulos es el valor de esta pecera y lo que puedes ver es que cada uno de los rectángulos está abarcando más que el área bajo la curva así que sabemos que el área bajo la curva será mayor que cero y que esta pesquería va a ser mayor que la integral desde unos infinito de uno entre exhala pierde x es decir va a ser mayor que el área bajo la curva pero si sumamos 1 al área bajo la curva en esta ocasión no solamente estamos hablando del área en blanco también estamos hablando de esta área de rojo que acaba de agregar entonces ahora nuestra pc va a ser menor que uno más está integrada ya que el primer término de nuestra pesquería es igual a 1 y luego todos los demás términos pueden verse como una aproximación del imán por debajo de la curva y pueden ver que encajan debajo de la curva y además dejan un poco de espacio así que eso va a ser menor que la expresión uno más la integral de un infinito de 1 / x la px ahora pensemos en lo que pasa si sabemos que es integral de aquí divergen es decir no convence a un valor infinito entonces la pecera va a ser mayor que eso hace que sea integral diversión entonces la pecera en definitiva diverge del mismo modo si esto de aquí convergen es decir esto integral va a tomar un valor finito bueno pues uno más es integral aún va a converger así que nuestra pc de también debe de converger debe ir a un valor finito y todo lo que estoy hablando aquí es en realidad la prueba de la integral cuando pensamos en pruebas de convergencia/divergencia a veces utilizamos este método pero sólo me estoy asegurando de que tenemos una buena comprensión conceptual de lo que está pasando y no una aplicación llega de la prueba de la integral y ahora bien también podrían ir de otra manera si la pcd convenció entonces seguro que se integraba con bergé b y si la pesquería divergen entonces aseguró la expresión uno más está integral que tengo aquí va a divergir y por lo tanto la integral divergió muy bien con esto podemos decir que la pcd convergen si sólo si ésta integral que tengo aquí convergen así que encontrar bajo qué condiciones o para qué valores de pecom vergel ap serie se reducen a encontrar bajo qué condiciones está integral convergen así que déjame bajar la pantalla y vamos a pensar en que tiene que ser verdad para que sea integral con verja entonces dejan escribir tenemos integral en propia desde europa hasta el infinito de 1 / x elevado la p de x voy a decir que es integral es exactamente lo mismo que tomarme el límite cuando m tiende a infinito de la integral de uno hasta m en lugar de poner uno entre ex a la pgjem voy a poner x elevado la - p dx elevado la - p de x y por ahora permite enfocarse solamente nuestra integral el integral de 1m de examen hospede x y sólo recordemos que al final vamos a sacar el límite cuando m tiende a infinito ahora vamos a fijarnos que valores puede tomarse integral ahora ya sabemos que es mejor que cero así que en esta ocasión tenemos dos casos el primer caso cuando pero vale uno porque si pegarle 1 entonces esto va a ser simplemente la integral de uno hasta emmen de uno entre xd x y así tendríamos que ser integral de uno hasta m de exa -1 de x lo cual es exactamente igual ya sabemos al hogar es natural de x evaluado en uno y en ese entonces esto va a ser el logaritmo actual de mh - el logaritmo actual de 1 si hacemos la evaluación y después podemos recordar que eleva del acero es igual a 1 entonces el hogar es natural de uno ya lo sabemos es cero así que en este caso especial éstos se van y simplemente me quedan que cuando pp es igual a 1 la integral de uno hasta m que nosotros buscábamos simplemente se reducen al hogar es natural de m ahora pensemos en el segundo caso donde pp no es igual a uno viene en esta ocasión a lo que podemos usar es la regla de las potencias que aprendí en la diferenciación básica así que incrementamos el exponente 1 eso me quedaría x elevado a la - p más uno que de hecho lo podemos crear más fácilmente como x elevado a la 1 - fem y luego lo dividiremos entre 1 - p y ahora vamos a evaluar este resultado desde uno a m y entonces esto va a ser igual lo podemos escribir después de evaluarlo como m elevado a la 1 - p entre 1 - p y a eso hay que quitarle la evaluación en uno que me querían un elevado a la 1 - pem entre 1 - fem y ya que tengo estas dos respuestas ahora vamos a sacarlos interés que dijimos que no íbamos a olvidar así que recuerden no solamente necesitábamos la integral de 1m de examen hospede x no solamente necesitamos acá la entidad privada o la integral definida sino que queremos sacar además el límite cuando m tiende a infinito entonces cuál es el límite de logaritmos natural de m cuando m tiene infinitum bien si me va hacia el infinito es decir no está acotado en lugares naturales seguirá yendo hacia el infinito así que cuando pep es igual a 1 el límite cuando m tienen finito de eso integral no conversión es integral no está acotada así que si pesa igual a 1 entonces diverge bien ya sabemos esto ahora pensamos en el otro caso pensemos en el límite cuando m tiende a infinito de esta expresión que tengo aquí y si observas toda esa expresión que tengo aquí en la única parte que está afectada por el límite es la parte que contiene a m así que podemos escribir esto como primero podemos sacar uno entre 1 - p y decir que queremos encontrar uno entre 1 - pem que multiplica al límite cuando emitiendo infinito del mh elevado a la 1 - p y luego por separado podemos restar todo lo demás tengo uno elevado a la 1 - p si observas en general para cualquier exponente esto va a ser uno / / 1 - p es correcto porque no observa no importa que es ponente tengas en 1 - p a un elevado cualquier potencia va a ser uno y entonces lo interesante es si es converger o no convergen el límite cuando m tiene infinito dm elevado a la 1 - p entonces todo va a depender el exponente es positivo o negativo observa si uno menos pero es mayor que hacer o si voy a ser infinito y estoy llevando a m a un exponente positivo entonces estaba a divergir si uno menos peso mayor que cero podemos marpe de ambos lados y eso es lo mismo que uno mayor que pepe open menor que un sip es menor que una ley integral de vejez vive bien hasta ahorita sabemos que para hacer un menor que te menos que uno y para p igual a 1 la integral va a divergir ahora viene falta pensar un caso que pasó es el exponente de m elevado la 1 - p es negativo es decir 1 - p es menor que cero piensa un poco tendríamos algo de la forma unam entre ml bado a un exponente positivo esa es una forma de pensarlo así que cuando en esa próxima infinitum mh elevado la uno menos pero se va a aproximar a cero y justo es aquí en este caso donde convergen moix donde llegamos un valor finito y entonces si sumamos que de ambos lados me va a quedar que si uno es menor que pp y psoe porque uno entonces está integral con vea entonces ahí lo tienen hemos establecido que la integral desde unos infinito de uno entre exhala px va a converger a sólo en el caso donde pp es mayor que un sip es mayor que 1 la integral convergen y si cero es menor que pepe menor o igual que uno en este caso ley integral lippe y si regresamos con todo esto podemos decir que nuestra pesebre convergen sólo en el caso donde pero es mayor que un sip es mayor que uno entonces converse y si cero es menor que pepe que es menor o igual que uno en este caso vive y ahí lo tienen
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