Prueba del criterio de convergencia de las series-p

quiero que observes lo que tenemos aquí de color anaranjado si observas esta es una serie es decir la suma desde uno está infinito de 1 / n elevado a la pep y lo que vamos a hacer en este vídeo es pensar acerca de las condiciones es decir para que peso esta p serie va a converger y para que sea una p serie por definición pep tiene que ser mayor que 0 así que he puesto por acá estas gráficas para pensar un poco en cómo vamos a saber cuando esta pc de converja entonces en esta primera gráfica observan tenemos la curva esta es la curva de igual a 1 / x alape y estamos diciendo en términos generales ya que es mayor que 0 que sabemos que va a ser una función decreciente como en esta otra segunda gráfica donde una vez más aquí tenemos bien igual a 1 entre x elevado a la pep y ahora lo que hemos sombreado de color blanco debajo de la curva y sobre el eje x positivo integral impropia desde uno hasta infinito de 1 / x a la p de x así que esta área fue lo que sombre amos antes de empezar el vídeo en ambas gráficas bien ahora lo que tenemos aquí visualmente es que existe una convergencia y divergencia muy estrecha entre esta p seria y esta integral que tenemos aquí ya que cuando vemos esta gráfica de la izquierda podemos ver que esta serie puede ser vista como una aproximación de riman por arriba de esa área a qué me refiero con eso bien piensen en el área de este primer rectángulo el ancho es de 1 y la altura es de 1 entre 1 / pm ya que este es el primer término de esta p seria entonces este rectángulo solo tendría un área de 1 ojo las escalas de x de james no son las mismas ahora observa el segundo rectángulo el área de este segundo rectángulo sería 1 entre 2 elevado a la p el área del siguiente es de 1 entre 3 elevado la penn y así sigue entonces la suma de estas áreas de esos rectángulos es el valor de esta pecera y lo que puedes ver es que cada uno de estos rectángulos está abarcando más que el área bajo la curva así que sabemos que el área bajo la curva será mayor que 0 y que esta serie va a ser mayor que la integral desde 1 este infinito de 1 / exhala pep de x es decir va a ser mayor que el área bajo la curva pero si sumamos 1 al área bajo la curva en esta ocasión no solamente estamos hablando del área en blanco también estamos hablando de esta área de rojo que acabo de agregar entonces ahora nuestra pcd va a ser menor que uno más esta integral ya que el primer término de nuestra serie es igual a 1 y luego todos los demás términos pueden verse como una aproximación de riman por debajo de la curva y pueden ver que encajan debajo de la curva y además dejan un poco de espacio así que eso va a ser menor que la expresión 1 más la integral de 1 infinito de 1 / x la p ahora pensemos en lo que pasa si sabemos que es integral de aquí divergen es decir no convence a un valor infinito bien entonces la p se va a ser mayor que eso hace que se le integra el divergen entonces la p seria en definitiva divergen del mismo modo así esto de aquí convergen es decir esta integral va a tomar un valor finito bueno pues uno más es integral aún va a converger así que nuestra psr también debe de converger debe ir a un valor finito y todo lo que estoy hablando aquí es en realidad la prueba de la integral cuando pensamos en pruebas de convergencia y divergencia a veces utilizamos este método pero sólo me estoy asegurando de que tenemos una buena comprensión conceptual de lo que está pasando y no una aplicación ciega de la prueba de la integral y ahora bien también podrían ir de otra manera si la p sería conveniente entonces seguro que esta integral va a converger y si la p serie divergen entonces seguro la expresión uno más esta integral que tengo aquí va a divergen y por lo tanto la integral muy bien con esto podemos decir que la p serie convergen sí solo sin esta integral que tengo aquí converge así que encontrar bajo qué condiciones o para qué valores de pecom bergel ap serie se reducen a encontrar bajo qué condiciones esta integral convergen así que déjame bajar la pantalla y vamos a pensar en que tiene que ser verdad para que esta integral converjan entonces déjame escribirla tenemos la integral impropia desde 1 hasta infinito de 1 / x elevado a la p de x y bueno voy a decir que esta integral es exactamente lo mismo que tomarme el límite cuando m tiende a infinito de la integral de uno hasta m y en lugar de poner uno entre x alape voy a poner x elevado la menos p de x elevado a la menos p de x y por ahora permite enfocarse solamente en nuestra integral el integral de 1m x a la menos px y sólo recordemos que al final vamos a sacar el límite cuando m tiende a infinito ahora vamos a fijarnos qué valores puede tomar esta integral ahora ya sabemos que es mayor que 0 así que en esta ocasión tenemos dos casos el primer caso es cuando te vale 1 porque si te vale 1 entonces esto va a ser simplemente la integral de 1 hasta emmen de uno entre x de x y así tendríamos que esta es la integral de uno hasta m de xcel a menos uno de x lo cual es exactamente igual ya sabemos el logaritmo natural de x evaluado en uno y en emmen entonces esto va a ser el logaritmo natural de m - el logaritmo natural de 1 si hacemos la evaluación y después podemos recordar que el elevado de acero es igual a 1 entonces el logaritmo natural de 1 ya lo sabemos es 0 así que en este caso especial esto se va y simplemente me queda que cuando p es igual a 1 la integral de hasta m que nosotros buscábamos simplemente se reducen a logaritmo natural de m ahora pensemos en el segundo caso donde p no es igual a 1 bien en esta ocasión lo que podemos usar es la regla de las potencias que aprendimos en la diferenciación básica así que incrementamos el exponente 1 eso me quedaría x elevado a la menos p más 1 que de hecho lo podemos escribir más fácilmente como x elevado a la 1 pm y luego lo dividiremos entre 1 - p y ahora vamos a evaluar este resultado desde 1 a m y entonces esto va a ser igual lo podemos escribir después de evaluarlo común m elevado a la 1 - p entre 1 - p ya eso hay que quitarle la evaluación en 1 que me quedarían 1 elevado a la 1pm entre 1 - pm y ya que tengo estas dos respuestas ahora vamos a sacar los límites que dijimos que no íbamos a olvidar así recuerden no solamente necesitábamos la integral de 1 m de exhala - pep de x no solamente necesitamos acá delante derivada aula integral definida sino que queremos sacar además el límite cuando m tiende a infinito entonces cuál es el límite del logaritmo natural de m cuando m tiende a infinito bien si m va hacia el infinito es decir no está acotado el logaritmo natural seguirá yendo hacia el infinito así que cuando p es igual a 1 el límite cuando m tiende a infinito de esta integral no converge en esta integral no está acotada así que sí p es igual a 1 entonces divergen bien ya sabemos esto ahora pensemos en el otro caso pensemos en el límite cuando m tiende a infinito de esta expresión que tengo aquí y se observa toda esta expresión que tengo aquí en la única parte que está afectada por el límite es la parte que contiene a m así que podemos escribir esto como bueno primero podemos sacar 1 / 1 - p y decir que queremos encontrar 1 entre 1 - p que multiplica al límite cuando m tiende a infinito de m elevado a la 1 pm y luego por separado podemos restar todo lo demás tengo 1 elevado a la 1 - pm se observa en general para cualquier exponente esto va a ser uno dividido entre 1 - p es correcto porque no observa no importa qué exponente tengas en 1 - p 1 elevado a cualquier potencia va a ser 1 y entonces lo interesante es si convergen o no convergen el límite cuando m tiende a infinito de m elevado a la 1 - p entonces todo va a depender si el exponente es positivo o negativo observa si 1 - pep es mayor que 0 si voy a ser infinito y estoy elevando a m a un exponente positivo entonces esto va a divergir sí 1 - p es mayor que cero podemos marte de ambos lados y esto es lo mismo que uno mayor que pep o p menor que 1 sip es menor que 1 la integral vive bien hasta ahorita sabemos que para hacer un menor que p menor que 1 y para p igual a 1 la integral va a divergir ahora viene falta pensar un caso qué pasa si el exponente de m elevado a la 1pm es negativo es decir si uno p es menor que cero piénsalo un poco tendríamos algo de la forma 1 entre m elevado a un exponente positivo esa es una forma de pensarlo así que cuando m se aproxima infinito m elevado la 1 - p se va a aproximar a 0 y justo es aquí en este caso donde converge hemos donde llegamos a un valor finito y entonces si sumamos p de ambos lados me va a quedar que si uno es menor que pero si p es mayor que uno entonces esta integral con b entonces ahí lo tienen hemos establecido que la integral desde uno este infinito de uno entre x la p de x va a converger sólo en el caso donde p es mayor que 1 si es mayor que 1 la integral convergen y si 0 es menor que p menor o igual que 1 en este caso la integral diverge y si regresamos con todo esto podemos decir que nuestra serie convergen solo en el caso donde per es mayor que 1 si p es mayor que 1 entonces convergen y si 0 es menor que p que es menor o igual que uno en este caso diverge y ahí lo tienen