Introducción a las series de potencias

hemos visto ya muchos ejemplos de series infinitas pero lo emocionante de este vídeo es que vamos a usar series infinitas para definir una función y la más común que verás en toda tu carrera matemática es la serie de potencias muy bien serie de potencias entonces lo que vamos a hacer es definir una función efe de x este es fx y la vamos a expresar como una serie de la siguiente forma vamos a calcular la suma desde cero hasta infinito de ciertos coeficientes a n que multiplican a x menos c elevado a la n entonces a lo mejor ya en tu cabeza estará gritando algo que te dice que se parece mucho a las series que hemos estado viendo y vamos a desarrollarlas un poco para que veas cómo se ve esto será para cuando n es cero tendremos a cero que multiplica a x menos c elevado a la cero que eso es una verdad simplemente nos quedaría un número a 0 luego sumamos a 1 que multiplica a x menos elevado a la 1 y seguimos sumando a 2 que multiplica a x menos elevado al cuadrado y así podemos seguir sumando muy bien entonces como podrás darte cuenta de seguro estarás diciendo que esto se parece a una serie geométrica y de hecho lo más probable es que ya estés viendo que la serie geométrica es un caso particular de la serie de potencias porque porque la serie geométrica vamos a vamos a recordar la serie geométrica la serie geométrica lo podemos también expresar digamos de la siguiente forma la suma desde n igual a cero hasta infinito de un nuestro primer término que multiplica a x a la n donde x sería nuestra proporción común entonces si lo vemos de esta forma como que x es una variable independiente esto es una función ésta es una función g x muy bien donde x es nuestra variable independiente cuando cuando nosotros hacíamos series geométricas aquí poníamos una r verdad la rd de éste para representar la proporción común pero en este caso es una equis que es es una variable independiente muy bien entonces no es forzoso poner x puede ser una función que depende de r pero bueno es es lo más común poner a x como una variable independiente y esto quien sería cuando n vale 0 tenemos a por x a la 0 por equis al hacer o más cuando n vale 1 es a por x a la uno más cuando en el vale 2 sería a por x al cuadrado y así seguimos sumando hasta el infinito verdad entonces la gran diferencia aquí es simplemente que nuestros coeficientes a n en la serie geométrica son siempre el mismo y es un número fijo a verdad y aquí bueno estaríamos pensando que la c vale 0 verdad simplemente aquí arriba lo puedes ver como que estamos desplazando nos recorriendo no sé unidades ahora bien bajo ciertas condiciones nosotros sabemos que la serie geométrica con bergé a un valor verdad sabemos que siempre que la proporción común tenga valor absoluto menor que 1 esto será igual a nuestro primer término dividido entre uno menos la proporción común muy bien entonces sabemos que esto con bergé entonces convergen con bergé y el valor absoluto de x de la proporción común es menor que 1 o en otras palabras esto ocurre si x es menor que 1 pero más grande que menos 1 muy bien así que aquí x puede variar dijimos que era una variable independiente y definimos una función en términos de esta serie que es una serie geométrica esta serie tiene sentido es decir convergen siempre que nos encontremos con valores de x mayores que menos 1 y menores que 1 así que esto de aquí no se está definiendo un intervalo de hecho pueden pensar este intervalo así el menos 1 a candar el 0 y a quien da el 1 en este intervalo vamos a poder garantizar que la función converge ya s le vamos a llamar intervalo de convergencia justamente es el intervalo en donde la función converge muy bien y entonces esto ocurre cuando tenemos esto de aquí entonces este valor tiene sentido muy bien entonces lo que necesitamos es que nuestra proporción común que en nuestro caso en nuestro caso será x verdad aquí para multiplicar a multiplicamos por x para poder obtener el siguiente término y luego multiplicamos por x para obtener el siguiente término entonces nuevamente por si no había quedado claro x es como nuestra proporción común pero además es variable aquí aquí aquí me equivoqué de verdad no no es r aquí justamente entonces es x entonces fíjate muy bien que fue lo que ocurrió tenemos una serie que nos definió esta función y esta es una función muy bonita a entre 1 - x entonces podemos desarrollar funciones tradición tradicionales en series geométricas tiene esto tiene muchas aplicaciones en ciencia y en ingeniería por ejemplo cuando queremos aproximar cierta función podemos decir bueno esta función la podemos expresar en una serie de potencias o en una serie geométrica entonces podemos quedarnos con algunos términos que nos ayuden a manipularlos o simplemente los términos que no cerebro puede entender por ejemplo que nos queremos hasta este término es una aproximación de esta función ok ahora bien otro concepto que deberíamos y remarcando es el siguiente es el concepto de radio de convergencia radio de convergencia y este este es un concepto muy sencillo sin aquí aquí nosotros decimos que las equis que se encuentren en este intervalo son en donde la función o más bien la serie convergen a esta función de x que resultó ser a entre 1 - x ahora que tanto nos podemos alejar del 0 y decir que si nos alejamos de ese 0 cierta cantidad podemos garantizar que converge a pues del 0 al o más nos podemos alejar 1 en ambos sentidos así que el radio de convergencia es 1 y es el radio digamos del intervalo muy bien ahora otra forma de pensarlo es este este intervalo tiene longitud verdad aquí lleva una unidad y luego otra unidad cuál es el radio pues la mitad de esa longitud muy bien puedes incluso hacer como la similitud con círculos así que mientras no nos alejamos de cero más del radio de convergencia que en este caso es 1 esta serie convergen