Examen AP Calculus BC, 2008. Pregunta 1a

el otro que estaba checando los comentarios que me dejan en los vídeos y me encontré con una sugerencia interesante de resolver problemas de cálculo que realmente hayan aparecido en un examen y que creen me encontré una página con los problemas de respuesta abierta de los exámenes de cálculo up que es la clase de cálculo avanzada que se da en eeuu en prepa vamos a hacer algunos de estos el primero que vamos a hacer es el problema 1 del examen de 2008 aunque no haya encontrado los de opción múltiple no te preocupes vamos a estar muy bien preparados para resolver los de opción múltiple una vez que podamos hacer los de respuesta abierta pues usualmente los de respuesta abierta son más difíciles sobre todo los últimos años que tienen mucho chiste pero bueno vamos a hacer esto voy a leer el problema en voz alta porque me da un poco de flojera copiarlo pero estoy aquí es el diagrama que copie y pegue del pdf de la página entonces ahí te va lo que dice el problema en lo siguiente dice sea r esté aquí es erre la región acotada por la función igual a seno de px déjame escribir eso entonces esta gráfica de aquí arriba déjame marcarlo así está esta gráfica de arriba es que es igual a seno de px le voy a escribir aquí ye igual a seno debí x voy a ponerlo en paréntesis para que veamos el seno de x la gráfica de abajo es igual a x al cubo menos 4x entonces esta de aquí es igual a x al cubo menos 4x como supe que la de arriba era seno de px pues fíjate que no se ve como la de arriba verdad y fíjate seno de pie cero seno de cero es cero y seno de dos pies cero entonces la de arriba tiene que ser seno de px pero bueno de cualquier forma lo que nos piden de encontrar es el área de la región que está acotada por las dos funciones es decir lo que queremos determinar es el área de r esta de aquí es la pregunta de calentamiento de lo que se quieren asegurar es que sepamos a ser integrales definidas va entonces cómo le hacemos para hacer esto pues vamos a plantear justo una integral definida vamos a plantear la el área entonces a es igual pero si se ve bien verdad el área es igual a la integral de entonces cuáles son los límites de integración hay que integrar desde x igual a cero hasta x igual a 2 entonces hay que ponerle aquí 0 y aquí 2 y qué es lo que tenemos que integrar pues vamos a tomar un valor de x y bueno cuál va a ser cuál va a ser el área verdad el área del rectángulo acuerda que integrar es hacer el área es tomar el área de muchos rectángulos y sumarlos aquí estoy dibujando mi rectángulo va a quedar algo así no estoy pintando con azul su ancho es de equis y cuál es su altura su altura va a ser la diferencia entre la función superior y la función inferior entonces esencialmente lo que queremos hacer es tomar todas las áreas y sumarlas entonces voy a poner otro color así está más porque sí pero entonces la altura va a ser la función inferior menos la superior es decir seno seno de pi x aquí entre paréntesis menos la función inferior la función de abajo es x al cubo más 4x simplemente cambie los los signos verdad como estaba restando intercambiar los signos de ambos términos todo esto de aquí hay que multiplicarlo por el ancho de cada rectángulo es decir x de x baja entonces queremos sumar todos esos desde x igual a cero hasta x igualados esto de aquí debería ser muy directo como lo hacemos para evaluarlo lo que hay que hacer es que es encontrar la primitiva de esta expresión evaluarla en 2 evaluarla en 0 y restar cuál es la anti derivada de seno de px bueno qué función cuando la derivamos nos queda seno de x vamos a tomar la derivada de coseno de x bueno no mejor la de coseno de vieques la voy a escribir aquí abajo vamos a ponerle coseno de pío x y eso de ahí vamos a derivar lo con respecto a x cuando la derivamos eso es igual a que la derivada de lo de adentro usando la regla de la cadena espn por la derivada de lo de afuera la derivada de lo de afuera es la deriva de kosher no es menos seno entonces es menos seno dp x vamos a escribirle un poco más bonito por acá - y por seno de px sale entonces la derivada de coseno de px casi es seno de pie quiso lo que tiene por aquí una constante entonces vamos a ver si podemos reescribir para que se parezca más a la derivada de coste no de px entonces fíjense el truco va a ser el siguiente el truco va a ser introducir un 1 ahí les va vamos a poner la integral de 0 a 2 y entonces lo que voy a hacer es lo siguiente voy a poner voy a poner fíjate voy a poner un -1 entre pi y voy a multiplicar por menos pi aquí no he hecho nada simplemente estoy multiplicando por uno verdad arriba y abajo puse lo mismo entonces nos queda seno de iu x y luego tenemos que restar x al cubo y sumar 4x todo eso de x entonces ahora que podemos hacer pues ya sabemos que la primitiva de esta expresión es coseno de px esto es una constante entonces simplemente puede salir de la integral entonces cuál es la anti derivada de toda la expresión pues la anti derivada es la anticipada de esto que es coseno de pie que voy a ponerlo por aquí menos 1 entre p coseno de pío x recuerda esta constante simplemente la saqué del integral esto de aquí corresponde a esta anti derivada y las de acá son más fáciles porque son polinomiales es menos la anti derivada de x al cubo que es x a la cuarta dividido entre 4 y hay que sumar hay que sumar la anti derivada de 4x es 4x cuadrada entre 2 que podemos simplificar como 2x cuadrada y eso de ahí tenemos que evaluarlo con límite superior 2 y elemento inferior 0 vamos a hacer eso entonces esto es igual a coseno de 2 vamos a poner el menos aquí / / p menos 2 a la cuarta cuanto estos a la cuarta 2 al cubo es 8 y por otro 2 nos queda 16 y 16 dividido entre 4 es 4 entonces nos queda menos 4 y hay que sumar 2 x cuadrado es decir 2 por 2 al cuadrado o sea 8 esto de aquí es este término evaluado en 2 ahora lo que hay que restar es el término evaluado en 0 entonces aquí nos quedaría coseno de bueno nos quedarían menos coseno de 0 / / pi / p y luego hay que restar 0 a la cuarta entre 4 0 2 por 0 que 0 entonces ya lo dejamos así entonces que obtenemos cuál es el valor de coseno de dos picos en los dedos pies lo mismo que cose no de cero y eso es igual a uno entonces josé no de dos bien trevi a ver nos quedaría menos uno entre pi no hay que restar cuatro hay que sumar el ocho aquí hay un menos menos por menos da más los podemos poner como más coseno de cero otra vez es 1 entonces nos queda más uno entre pi y fíjate este se cancela con este vamos a tachar los lo cancelamos por aquí lo cancelamos por acá y lo único que nos queda es menos 4 más 8 que es igual a 4 listo ya quedó esa de ahí fue la parte a del problema 1 de 2008 de este examen que les conté espero hacer algunos vídeos más con los otros inciso si de hecho hacer algunos de estos ejemplos diario uno o dos más o menos nos vemos en los siguientes vídeos