Examen AP Calculus BC, 2008. Preguntas 1b y 1c

vamos a seguir haciendo el primer problema del examen de 2008 de cálculo a p el curso que les conté ya habíamos hecho la parte así que ahorita toca hacer la parte b déjenme escribir por aquí arriba la parte b la parte me dice lo siguiente dice que la línea horizontal ye igual a menos 2 divide a la región r recuerda que esta de acá es la región r en dos partes escribe pero no evalúe una integral que exprese el área de la región r que está por debajo de esta línea recta sale entonces nos conviene dibujar igual a menos 2 déjame dibujarla por acá se vería más o menos algo así es una función constante hay está creo que no se ve muy bien verdad deja de hacerlo un poco más grueso con un color que se vea más a ver ahí vaya igual a menos 2 queda algo así y entonces lo que nos dice el problema es que esta región queda dividida en dos partes la superior y la inferior lo que quieren saber es una expresión integral para el área de r que está debajo de la recta de igual a menos 2 lo que nos preguntan es el área de esta región la que estoy sombreando recuerda que sólo quieren que encontremos una expresión lo que le evaluamos con un poco de suerte eso nos va a ahorrar algo de tiempo como le hacemos para encontrar esta expresión lo fácil va a ser encontrar la expresión que está dentro de la integral déjame poner la integral de saber que tenemos que poner aquí en medio queremos sumar todas las pequeñas áreas justo como lo hicimos en la parte a entonces lo que estamos haciendo es sumar las áreas de muchos rectángulos la altura de cada rectángulo va a ser este segmento de aquí y este segmento mide la diferencia entre las dos funciones esta es igual a menos 2 y esta de aquí abajo es igual por aquí lo teníamos verdad x al cubo menos 4 x esta curva de aquí abajo entonces la altura de cada uno de estos rectángulos flaquitos va a ser igual a menos 2 - x al cubo menos 4 x esta de ahí es la altura de cada uno de los rectángulos pero el ancho de cada uno de los rectángulos sabemos por lo que hemos hablado acerca de cálculo es que es una muy pequeña cantidad que se que le estamos llamando de x verdad y lo que queremos hacer es sumar de aquí acá queremos encontrar los límites de integración es decir este valor de x que va a ir acá y ese otro valor de x que va a ser el límite superior entonces estos de aquí son los puntos en los cuales estas dos funciones o las gráficas de estas dos funciones se intersectan cómo le hacemos para encontrar estos puntos pues vamos a plantear una ecuación lo que queremos es encontrar los valores de x los valores de x para los cuales x al cubo menos 4x es igual a menos 2 en qué valores de x el valor de g es el mismo entonces esto de aquí es una expresión polinomio vamos a pasar todo a la izquierda para igualarlo a 0 y nos quedaría x al cubo menos 4x + 2 igual a 0 y aquí te voy a contar un pequeño secreto ahorita que estaba haciendo la primera versión de este vídeo intentar resolver este polinomio sobre la marcha pero la verdad me quedó debiendo un buen rato y pensé vaya sí que está difícil y la verdad no me salió intente factorizar y salían las cuentas así súper feas entonces empecé a sospechar un poco y dije vamos a ver las instrucciones déjame enseñarte las mira lo que dice es lo siguiente la solución de algunos problemas o algunos incisos puede requerir de una calculadora gráfica hay entonces dije seguro en este problema quieren que usemos una calculadora gráfica entonces que dice pues bueno voy a sacar aquí mi calculadora gráfica mirabaje este que es un emulador de una texas instrumento de y 85 entonces vamos a utilizar esta calculadora para encontrar las soluciones de este de esta igualdad entonces vamos a aprenderla entonces quiero que veas más o menos que estoy haciendo voy a elegir la función bold y entonces aquí se compone nos preguntan por el orden del polinomio es decir el grado entonces hay que ponerle 3 enter y ahora lo que nos preguntan son los coeficientes el coeficiente en x al cubo es 1 vamos para abajo el coeficiente en x cuadrada pues mira no aparece x cuadrada entonces como no aparece x cuadrado el coeficiente es 0 y ahora vamos al coeficiente lineal cuál es el coeficiente de x el coeficiente en x es menos 4 entonces aquí tengo que poner menos 4 y el coeficiente libre el coeficiente libre es 2 verdad entonces a 0 es igual a 2 ahora le voy a aplicar aquí sol es decir resolver ahí está pensando la calculadora y mira obtuvimos tres números que están así super feos esto es una pista de que no íbamos a poder resolver la ecuación analíticamente bueno al menos no en el tiempo que nos dan pero vamos a ver hay tres puntos de intersección pero nuestro dibujo sólo tenemos dos como le hacemos para encontrar los dos que nos interesan pues vamos a ver x 1 es menos 2.2 1 pero está fuera del dibujo entonces ese valor de ahí no nos interesa seguro por acá en la izquierda baja la curva intersectar llegó a la menos dos también intersectan 1.675 que pues cuál de ellos era pues parece ser que es el segundo verdad voy a ponerle por aquí bueno ahorita le pongo pero el tercer valor es punto 539 entonces lo que podemos hacer es usar esos valores como límite inferior y como límite superior entonces déjame escribirlo aquí en el dibujo este punto que estoy marcando fuerte nuestra calculadora nos dijo que es igual a punto 539 voy a ponerlo como límite inferior punto 539 y este punto de acá este punto de acá es el otro valor que nos dio la calculadora verdad el 1.6 y cachito deja checo cuál era ok esté aquí era 1.675 entonces vamos a ponerlo en el límite superior 1.675 y nos dijeron que no querían que evaluaremos entonces ya terminamos ya encontramos una expresión que nos da el área que nos piden yo creo que esta simplificación de aquí a lo mejor todavía se podía hacer y así pero me sorprendería mucho que no estuviera bien el problema bueno vamos a pasar a la parte se va parte ce entonces lo que nos dice es la región r es la base de un sólido para este sólido cada corte que lo atraviesa y que es perpendicular al eje x determina un cuadrado encuentra el volumen de ese sólido ok esto son interesante vamos a hacer un dibujo si hacemos la curva perdón la región con un poco de perspectiva nos quedaría más o menos así esta es la función seno está un poco inclinada por porque le estamos viendo en 3-d y esta de acá es la función polinomiales déjame dibujo los ejes verdad con los ejes se va a ver mucho mejor la perspectiva entonces el eje x lo voy a poner con otro color lo voy a poner con color amarillo es este de acá es que acabo de dibujar es el eje x le voy a poner su flechita ahora vamos a dibujar el eje y va para allá como ves ya se empieza a ver un poco más en 3-d ahora hacemos el eje y para los valores negativos voy a poner su flecha por aquí el eje x el eje y lo que nos dicen es que esta región r justo como lo hicimos en las partes anteriores hay que hacer una integral nos dicen que la región r es la base de un sólido para este sólido cada corte perpendicular al eje x a ver vamos a hacer vamos a hacer un corte vamos a ver si podemos hacer algo así déjame hacer un corte supongamos que tenemos un cuchillo y cortamos perpendicular al eje x entonces si hacemos un corte algo así lo voy a poner con amarillo nos dice que es un cuadrado es decir la altura mide lo mismo que la base y sube perpendicularmente a ésta entonces quedaría algo así esto es como rebanar un jamón por acá tenemos una rebanada un poco más pequeña de jamón una rebanada cuadrada y este lado también tendríamos una rebanada de jamón cuadrada creo que más o menos se ve la idea entonces lo que quieren que hagamos es encontrar el volumen de este jamón o de este sólido pues entonces lo que hay que hacer es sumar todos estos cuadrados cómo le hacemos para encontrar esto pues la idea es muy similar al inciso a y b lo que hay que hacer es tomar el área de cada uno de estos cuadrados ahorita vamos a ver cómo encontrarla y ya que encontramos el área hay que sumar todas esas áreas por más la quitas que sean es decir tenemos que hacer una integral de 0 a 2 si ya se me está acabando el tiempo lo dejamos para la próxima y en el siguiente vídeo vamos a ver las cosas con más calma