Examen AP Calculus BC, 2008. Pregunta 1d

estábamos por concluir el problema 1 de respuesta abierta del examen de cálculo up de 2008 ya estábamos en el inciso de déjame repetir lo que dice dice que la región r es la superficie de un pequeño lago en cada uno de los puntos de r que están a distancia x del eje del h la profundidad en ese punto está dada por la función hdx igual a 3 - x con eso hay que encontrar el volumen del lago aquí a la derecha había empezado a hacer un dibujo dibuje la superficie por aquí y en el vídeo anterior estaba intentando dibujar la profundidad cuando existe cero el lago tiene profundidad 3 -0 que es igual a tres metros digamos y cuando x es igual a 2 la profundidad es 1 entonces para encontrar el volumen tenemos que pensar como en los incisos anteriores vamos a hacer cortes entonces ahí te va lo que vamos a hacer es dibujar un corte digamos por aquí mejor lo voy a hacer con otro color para que no nos confundamos lo voy a dibujar en color verde entonces ahí está va entonces voy a hacer un corte la altura sobre la superficie va a ser la diferencia entre estas dos funciones ya las conocemos súper bien esta es seno de pi x y la otra la inferior es x al cubo menos 4x va entonces si hiciera un dibujo de un rectángulo ahí te va un corte es con un rectángulo o algo así espero que se vea más o menos en 3-d entonces sabemos que el ancho de este rectángulo sobre la superficie es la diferencia entre la función superior y la inferior entonces déjame pasar ese rectángulo para acá va a estar lo único que hice fue separar el corte vamos a encontrar las medidas de sus lados el ancho de este rectángulo es esta función menos esta función en cada punto x es decir va a ser no debbie x - x al cubo menos 4x y cuál va a ser la altura entonces lo que nos dicen es que la altura o bueno la profundidad en este punto del lago es 3 - x entonces el alto estrés menos x entonces el área de este corte va a ser igual pues el área de un rectángulo es lado por alto entonces es seno de px menos x al cubo menos 4x por el alto entonces es un lado por alto nos queda 3 - x va entonces ese es el área de cada uno de los cortes si queremos encontrar el volumen de todo el lago lo que queremos hacer es tomar el área de cada uno de estos cortes e integrar todas esas claro multiplicadas por de x para poder pensarlas como volúmenes muy delgados entonces esta área hay que multiplicarla por de equis y con esto ya podemos pensarla como el volumen de una rebanada de jamón super delgada ya teniendo esto lo que queremos es integrar de 0 a 2 déjame poner aquí la integral de 0 a 2 va una vez más si te das cuenta esta integral tiene senos y funciones polinomiales entonces parece que se puede hacer integral por partes pero va a ser súper latoso y tal ayudó como sólo tienes 45 minutos para todos los problemas entonces vamos a suponer aquí que quieren que utilicemos la calculadora entonces voy a sacar la calculadora una vez más entonces a ver mira ahí está la parte de sé que resolvimos hace rato entonces vamos a pues la cálculo nos permite copiarla entonces vamos a aprovechar eso así ya nada más hacemos unas pequeñas modificaciones la diferencia entre el primero y el segundo es que arriba está elevado al cuadrado y ahora esta de aquí está elevado al cuadrado verdad pero ahora hay que multiplicarlo por 3 - x entonces déjame aquí moverme para la izquierda borrar este este cuadrado entonces vamos a ponerle eliminar y ahora lo que tenemos que hacer es multiplicar entonces tenemos que insertar por abrimos paréntesis 3 menos y cerramos paréntesis a ver déjame checar que hayamos puesto todo bien es expresión de ahí está correcta entonces hay que integrar con respecto a equis y los límites de integración es de 0 a 2 va entonces le damos enter ahí está la calculadora vamos a darle un rato para que acabe de procesar a esta nuestra respuesta es 8.369 98.3 7 está bien entonces el volumen es igual a 8.3 7 bar bueno espero que esto te sea útil espero hacer cada día algunos de estos problemas nos vemos en el próximo vídeo