Examen AP Calculus BC, 2008. Preguntas 2b y 2c

listo ya pasé por mi ropa a la lavandería volvamos a las matemáticas estábamos en este problema usa una suma trapezoidal con 3 sub intervalos para estimar el promedio de cuántas personas estuvieron esperando en las primeras cuatro horas ya habíamos hecho una gráfica pero tenemos esta expresión terrorífica usa una suma trapezoidal para estimar el promedio de personas que bla bla bla y eso se ve súper complicado de hecho que yo recuerde creo que nunca lleve eso de las sumas trapezoidales en mis cursos de cálculo pero lo bueno es que basta pensar de un poquito para saber qué es lo que nos están preguntando empecemos con esto del promedio de una función en un intervalo cuando promediamos números sumamos todo y dividimos entre la cantidad vamos a hacer algo parecido voy a llamarle al promedio entonces nos queda a es igual a 1 entre y supongamos que el intervalo es de ave tenemos que ponerle 1 entre menos a por la integral de ave de f de equis y esto de aquí tiene sentido geométricamente el promedio de una función es el área bajo la curva que la define entre la base eso tiene mucho sentido verdad vamos al dibujo es decir si queremos encontrar el promedio vamos a sumar todo lo que está abajo y vamos a dividir entre la longitud o la base de la figura podemos pensarlo de otra forma tomamos el valor medio de la función vamos a ver en este caso quedaría como que por aquí arriba verdad entonces si tomamos el valor medio de la función y lo multiplicamos por la base eso de ahí nos debería de dar el área debajo de la curva vámonos al álgebra para ver cómo se ve es decir nos quedaría reescrito como ve - a x a mayúscula es igual a la integral de a a b de fx de x con esto en mente pasemos a lo de los trapecios los trapecios aparecen en la figura debajo de la curva y entonces nos ayudan a estimar la integral justo esto es la idea vamos a sumar las áreas de los trapecios con eso estimamos la integral dividimos entre la longitud que es 4 y eso nos va a dar una estimación del promedio vamos a borrar esto de acá para pasar a las cuentas déjame tomar el borrador voy a elegir esto ahí está en negro ok entonces el problema nos da la pista nos dice que tenemos tres intervalos en el dibujo hay tres intervalos muy muy natural es verdad tres intervalos super naturales de hecho déjame dibujar los voy a dibujar con una línea punteada en amarillo algo así bajamos hasta el 0 este de aquí delimita el otro sub intervalo y ya está tenemos 3 trapecios este tenemos uno en medio y tenemos uno hasta la derecha muy bien esencialmente lo que tenemos que hacer es encontrar el área de cada uno de estos trapecios voy a delimitar los un poco mejor para esto voy a marcar bien sus orillas entonces voy a tomar mi herramienta de línea y voy a tomar otro color color verde entonces esta es la orilla de uno de los trapecios esta es la orilla de otro de los trapecios y otra vez la idea es sumar el área de cada uno de los trapecios dividir entre la longitud del intervalo aquí el intervalo mide 4 y listo vamos a terminar entonces vamos a eso de calcular las áreas de los trapecios cuál es el área de este del primero lo que tenemos que hacer para encontrar el área es multiplicar la base entonces el área de aquí es a ver voy a señalarlo es la base que es simplemente 1 es 1 x el promedio de ambas alturas entonces vamos al asalto a ver cuánto es aquí es 120 y 156 entonces el promedio de 120 y 156 es pues haber sumados nos dan 276 276 entre 2 nos quedan 138 verdad entonces nos queda uno por 138 que simplemente 138 ese es el área del primer trapecio vamos al segundo el área del segundo lo voy a marcar aquí con rosa mexicanos su base es 212 entonces es 2 x el valor promedio de 156 y 176 a ver el valor de estas dos alturas a éste está más fácil que número queda en medio de estos dos pues 166 entonces es 1.60 no perdón 166 estados por 166 y finalmente cuál es el área de este último trapecio pues para encontrar el área tenemos que multiplicar la base la base es 4 menos 3 1 y hay que multiplicar por el promedio de las alturas cuál es el promedio de 176 y 126 es un medio x déjame mejor sacar la calculadora para no equivocarnos recuerda que podemos utilizarlas entonces le ponemos 176 más 126 y eso nos da igual a 302 entre 12 151 muy bien entonces vamos a tachar esto y nos queda 151 cuál es el área total pues tenemos que sumar las áreas de estos 3 lo metemos a la calculadora otra vez nos queda 138 más dos veces 166 + 151 enter 621 ese es el área total debajo de los trapecios pero todavía no acabamos porque nos piden encontrar un estimado del promedio de la función entonces tenemos que dividir el área entre la base la base mide 4 es de 0 a 4 y entonces tenemos que dividir esta expresión entre 4 le ponemos entre 4 nos queda 155 punto 25 listo como dice la pregunta usando una estimación trapezoidal con 3 sub intervalos logramos encontrar el promedio de la función hasta 4 y nos dio 150 y 5.25 como no nos piden redondear y es un promedio de personas vamos a dejarlo así no creo que haya ningún problema en el examen bueno vamos a la parte cual sigue así la parte c a ver creo que vamos a utilizar este dibujo en la parte c solo déjame borrar las cosas de la parte b y la pregunta verdad vamos a borrar el enunciado vamos a borrar esta respuesta un poquito de esto y voy a borrar con un poco más de cuidado unas flechitas porque pues seguro vamos a utilizar esta gráfica en el siguiente inciso y pues va a ser muy muy útil ya haberla hecho digo si estás en el examen puedes volver a dibujarla pero bueno ya la voy a dejar así creo que ya me quedo más o menos bonito partes y vamos a pasar a la parte se deja voy al archivo para elegirla no estáis seleccionando lo copiar vamos aquí al programa edición pegar ahí está déjame leerlo dice párate entre 0 y 9 es decir aquí entre 0 y 9 cual es la menor cantidad de veces para las cuales l prima de t debe ser igual a 0 argumenta tu respuesta ok l prima de t es la derivada de esta función recuerda que esta función que dibujamos es solo una aproximación lineal realmente esto no es el dt si no es una aproximación hecha con líneas rectas como sabemos esto pues l prima de hecho es dos veces diferenciable entonces debe quedar muy suave la gráfica real va a parecerse más o menos a esto que voy a dibujar va a ser como algo de este estilo va a subir se va a mover suavemente pasando por cada uno de los puntos luego se va a mover suavemente hacia arriba y aquí va a bajar muy bien lo que nos preguntan es el mínimo número de veces que l prima dt debe ser igual a 0 cuando pasa esto pues sabemos que l prima de t es igual a 0 cuando tenemos un máximo local o cuando tenemos un mínimo local o bueno en algunas ocasiones eso pasa cuando tenemos un punto de inflexión pero bueno no sabemos realmente que aquí haya puntos de inflexión en nuestro dibujo solo tenemos algunos mínimos y algunos máximos entonces vamos a responder a ojo de buen cubero y luego vemos como lo argumentamos a ver pues viendo la gráfica como que por aquí le vamos a tener un máximo local aproximadamente debe quedar en este intervalo entonces marco la pendiente cero de aquí aquí pasa algo parecido el mínimo local nos da una pendiente horizontal y finalmente tenemos un tercer punto crítico que es un máximo por aquí va entonces a ojo de buen cubero encontramos dos máximos y un mínimo en total son tres puntos críticos y por tanto la derivada se anula tres veces ahora vamos a la segunda parte que es la argumentación estas preguntas me gustan un poco más que aquellas en las que nos pide hacer cuentas porque siento que ayudan más a darme cuenta si realmente estoy entendiendo el concepto de fondo ahí te va como lo explicaría yo todo se basa en que la pendiente de la función l intercambia su signo tres veces ves a donde quiero llegar más o menos déjame marcarlo en el dibujo para que se vea más claro voy a utilizar una línea gruesa y brillante entonces aquí tenemos pendiente positiva aquí negativa luego por aquí tenemos pendiente positiva y finalmente tenemos una pendiente negativa aquí en el examen yo escribiría los siguientes puntos clave número uno la función es dos veces diferenciable y por tanto tiene derivada y esta derivada es continua déjame escribirlo por aquí a la derecha la derivada es continua punto número dos la derivada tiene tres cambios de signo otra vez por ejemplo aquí tiene derivada positiva y luego cambia a que la derivada sea negativa número 3 como la derivada es continua y cambia de signo entonces en este intervalo tiene que recorrer continuamente los números y entonces no puede saltarse al ser como este argumento se repite aquí y el argumento se repite también en este intervalo de acá y en este de aquí entonces debe tomar tres veces el valor cero listo continuamos con la parte de en el siguiente vídeo