Examen AP Calculus BC, 2011. Preguntas 1b y 1c

inciso b encuentra la pendiente de la línea tangente a la trayectoria de la partícula en el tiempo te iguala 3 así que la pendiente será simplemente la tasa de variación de i con respecto a x en ese punto y esto es exactamente lo mismo que dejé en dt / / de x dt trabajar con diferenciales es a veces un poco extraño cuando quieres ser muy riguroso pero podríamos ver esto como pequeñas variaciones en gente variaciones en x y en t pero cuando lo vemos de esta manera podríamos decir oye pues simplemente si yo multiplicará por dt en el numerador y en el denominador y observemos que es el mismo pequeño cambio entonces cancelarían a las anteriores y regresaríamos a del sobre de x el que ya teníamos la razón por la que lo escribía así es porque la información que nos dieron es justamente esta ellos nos dieron de ella en dt y de equis en dt así que si queremos encontrar la pendiente al tiempo a ver qué tiempo así nos dieron el tiempo te iguala tres de ella en dt al tiempo te iguala 3 va a ser esto que tenemos aquí arriba que es el seno de t cuadrada que sería el seno de 9 y de x en de t al tiempo 3 aquí nos están diciendo lo que es de x en de t como una función del tiempo entonces es cuatro veces este más uno o sea 13 y ahora podremos evaluarlo directamente con nuestra calculadora ya tenemos parte de lo que estuvimos haciendo y vamos a calcular el seno de 9 entre 13 esto es igual a cero punto 0 31 70 puntos 0 31 7 y ya estamos listos esto es la tangente de la trayectoria de la partícula al tiempo de igual a 3 lo copié bien a ver este si 0.0 31 7 ya estamos parte se encuentra la posición de la partícula al tiempo te iguala 3 ellos nos dieron x prima de t y se prima de t ésta es x prima de t y estar acá es prima de t vamos a ver si podemos escribir x de t 7 para poderlo evaluar en 3 así que veamos necesitamos encontrar x prima en 3 y prima en 3 xd te será la anti derivada de esto que tenemos aquí así que la anti derivada de 4 te va a hacer 2 t al cuadrado si tomo la derivada de esto obtengo 4 t la anti derivada de uno esté más té más una constante en esencia lo que hicimos fue hacer la integral indefinida de este lado que es cuatro temas uno y de ahí obtuvimos esta constante que claro al derivar la desaparece por suerte también nos dieron esta condición x de 0 es igual a 0 así que cuando te es 0 este término va a ser cero este de acá también será cero y nos están diciendo que todo esto sería cero entonces se vale cero voy a hacer lo mejor de manera explícita para que no nos confundamos así que x de cero va a ser cero a cero más c y aquí nos están diciendo que esto es igual a cero y se es igual a cero entonces x dt va a ser igual a 2 d al cuadrado más t así que si queremos ahora encontrar x de 3 sólo tendremos que evaluarla x de 3 va a ser dos veces 9 + 32 veces 9 es 18 + 3 es igual a 21 x de 3 es igual a 21 ahora intentemos hacer dt y ahora hagámoslo en un color distinto también déjenme acomodar la pantalla tantito a la derecha 7 es igual a si queremos tomar la anti derivada de esto pero no es tan fácil sacar la anti derivada de esto que tenemos aquí de hecho es algo bastante difícil de hacer de manera analítica pero tenemos suerte porque en esta parte del examen nos permiten usar calculadoras y utilizando el teorema fundamental del cálculo vamos a decir que el dt va a ser la integral de 0 a t de seno de x al cuadrado de x no quise utilizar una t aquí adentro porque aquí arriba tengo otra y podría prestarse a confusiones y tenemos que evaluarlo ente y también vamos a poner una constante porque si tomamos la derivada de esto perderíamos la información que tenemos aquí y ahora también vamos a calcular cuál sería la constante porque nos están diciendo el valor de 0 así que llegue 0 sería la integral de 0 a 0 y esta parte de acá pues también será cero así que esto es igual a c y aquí nos dicen que de cero es igual a menos 4 así que obtenemos 7 es igual a la integral de cero a t de seno de x cuadrada de x menos 4 que es una función de t ya calculamos lo que es x de 3 y ahora vamos a hacerlo para allí en 3 entonces la integral de 0 a 3 del seno de x al cuadrado de x menos 4 y otra vez tenemos mucha suerte porque podemos utilizar calculadoras traigamos la calculadora y ahora vamos a querer utilizar y de el catálogo de funciones vamos a buscar y lo que quiero hacer es la integral definida así que si la buscó en las heces esa será aquí está esa es mi función esta es la integral definida y lo que quiero hacer es evaluar la integral definida de esto que tengo aquí la función es seno de x al cuadrado esa es la integral definida que quiero evaluar de 0 a 3 si de 0 a 3 ops tengo que decir cuál es la variable de integración primero mi variable de integración es x y voy a ir de 0 a 3 y el resultado es dejemos pensar un poco a la calculadora punto 77 356 y esto corresponde a la primer parte esta que está aquí ahora tenemos que restarle 4 así que si le quitó 4 tengo menos 3.226 esto es igual a menos 3.226 voy a verificar la verdad mi memoria no es muy buena pero si lleve 3 es igual a menos 3.226 la posición de la partícula en el tiempo te iguala 3 y está coordenada será la 21 coma menos 3.226