Examen AP Calculus BC, 2011. Pregunta 1a

problema 1 al tiempo de la posición de una partícula que se mueve en el plano xy es x de t 7 donde x de tdt no están dadas de manera explícita para t mayor o igual que 0 la derivada de x con respecto a t es igual a 4 temas 1 y la derivada de jake con respecto a t es igual al seno de t cuadrada en el tiempo te iguala 0 x de 0 es igual a cero y de cero es igual a menos 4 vamos con el problema a encuentra la rapidez de la partícula en el tiempo te iguala 3 y encuentra el vector aceleración de la partícula en el tiempo te iguala 3 primero recordemos que la rapidez de una partícula es la magnitud del vector velocidad así que cuál es el vector velocidad como función del tiempo pues será la derivada de la posición en x con respecto al tiempo o podríamos decir la velocidad horizontal multiplicado por el vector unitario y más la velocidad vertical multiplicado por el rector j escribí esto en términos ingenieriles pero hay muchas formas de especificar vectores y en este caso x prima de t es lo mismo que de equis dt que nos dieron aquí y es exactamente 4 esto que está aquí es 4 t más 1 por el vector unitario y y para prima de t también nos dieron la información y dejen de t es igual al seno de t al cuadrado por el vector unitario j así que este es nuestro vector velocidad nuestro vector velocidad en función del tiempo veamos cuál es el vector velocidad al tiempo igual a 3 pues sólo tenemos que sustituir para t igual a 3 así que ponemos que el vector velocidad en 3 pues va a ser cuatro veces tres más uno es 13 13 y más 3 al cuadrado es 9 que será el seno de 9 jota y la rapidez que es lo que nos están pidiendo pues va a ser la rapidez debería decir en el tiempo igual a 3 va a ser la rapidez va a ser la magnitud de la velocidad el vector velocidad en el tiempo 3 que es igual a la magnitud de 13 y más el seno de 9 j y para calcular esta magnitud utilizamos el teorema de pitágoras pues en esencia esa es la forma de calcular la magnitud y esto es igual a la raíz cuadrada de 13 al cuadrado que 169 más el seno de 9 al cuadrado y voy a traer mi calculadora en este momento del examen nos permiten traer calculadoras y así que vamos a escribir la raíz de 169 más el seno el seno de 9 al cuadrado muy bien esto es 3 al cuadrado más el seno de 9 al cuadrado y obtenemos 13.00 mejor lo voy a redondear a 007 si se ve que no nos dio un 13 exacto y que el seno de 9 pues contribuyó en algo así que la respuesta a la pregunta es igual a 13.00 7 eso es lo que nos están preguntando para la pregunta y después nos preguntan por el vector aceleración de la partícula en el tiempo igual a 3 y el vector aceleración de la partícula pues va a ser la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo o sea la aceleración horizontal por el vector i más la segunda derivada de la posición vertical con respecto al tiempo por el vector jota o sea la aceleración vertical la segunda derivada de x dt pues será la derivada de la primera derivada esta que tenemos aquí así que si es cuatro temas uno la segunda derivada va a ser simplemente cuatro por iu y la en la componente vertical tenemos que aplicar la regla de la cadena entonces va a ser la derivada de t cuadrada que es 2 t que multiplica a la derivada de seno que es coseno de t cuadrada y tenemos a j en su lugar esta derivada la hicimos la derivada de t cuadrada con respecto a t es 2 t y la derivada de seno de t cuadrada con respecto a t cuadrada es coseno de t cuadrada entonces ya tenemos el vector aceleración en función del tiempo pero no lo están preguntando en particular para él igual a 3 así que analicemos este 4 va a quedar igual y de este lado tendremos dos veces 3 por el coseno de 9 a ver déjame escribirlo esto va a ser 4 y y de este lado vamos a tener dos por tres que es igual a seis por el coseno de nueve a ver vamos a escribirlo aquí arriba que sería seis por el coseno de nueve por jota y ahora vamos a usar la calculadora porque bueno siempre nos dejan usar la calculadora en estos exámenes y vamos a tener que seis veces el coseno de nueve nos va a dar un resultado como menos 5.46 bueno lo vamos a aproximar y entonces este resultado tengo otros que estoy haciendo si se es jota no esté a ok nos va a quedar a menos 5.46 7-j otra vez lo escribí en notación ingenieril pero se podría utilizar otro tipo de notación y creo que las personas que realizan los exámenes lo aceptarían pero podríamos utilizar la notación parametrizado de vectores o la de parejas ordenadas lo podríamos escribir como que el vector aceleración en el tiempo 3 4 - 5.467 al final están diciendo lo mismo esta es la componente x del vector y esta es la componente del vector